二項式

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二項式(にこうしき、binomial)は、代数学において、2つのからなる多項式[1]、言い換えれば2つの単項式の和で表される式である。数式中では、しばしば括弧で括られて用いられる。単項式に次ぐ、最もシンプルな多項式である。

簡単な二項式の運用[編集]

  • 二項式  a^2 - b^2 は、他の2つの二項式を用いて因数分解することができる。
 a^2 - b^2 = (a + b)(a - b).
この公式は次に示すより一般化された公式の特別な場合である。
 a^{n+1} - b^{n+1} = (a - b)\sum_{k=0}^{n} a^{k}\,b^{n-k}.
  • 1組の一次の二項式(ax+b)(cx+d) を掛け算すると次のような公式が得られる。
 (ax+b)(cx+d) = acx^2+adx+bcx+bd.
  • 二項式のn乗 (a + b)^n で表され、二項定理によって拡張することができ、またパスカルの三角形を利用することが可能である。単純化例を示せば、完全平方(perfect square)の二項式 (p+q)^2 は初項 p を二乗し、初項 p と第二項 q を掛け合わせて2倍し、第二項 q を二乗したものの和である。数式で表せば以下のようになる。
(p+q)^2=p^2+2pq+q^2.
  • 単純であるが興味深い公式に "(m,n)公式" と呼ばれるものがある。これはピタゴラス数を算出するもので、 m < n のとき、
a=n^2-m^2, b=2mn, c=n^2+m^2

を与え、a,b,cは

a^2+b^2=c^2

の関係が成り立つ。

関連項目[編集]

脚注[編集]

  1. ^ Weisstein, Eric. “Binomial”. Wolfram MathWorld. 2011年3月29日閲覧。

参考文献[編集]