楕円積分

以下の積分をそれぞれ、第一種、第二種、第三種の楕円積分（だえんせきぶん）という。

$F(x,k)=\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)}}dt}$
$E(x,k)=\int_0^x{\sqrt{\frac{1-k^2 t^2}{1-t^2}}dt}$
$\Pi(a;x,k)=\int_0^x{\frac{1}{(1-at^2)\sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)}}dt}$

$|k|\leq{1}$を母数（modulus）、$a$を特性（characteristic）という。母数$k$の代わりにパラメーター$m=k^2$、或いはモジュラー角$\alpha=\sin^{-1}k$を用いることもあり、慣れない人を混乱させる種になっている。日本語の場合は、特性$a$を助変数（通常はparameterの訳語）と称することもあるので更に注意が必要である。

楕円の弧長など、三次式、或いは四次式の平方根の積分は楕円積分に帰着し、初等的に求まらないことが知られている。

ルジャンドルの標準形

最初に示したものはヤコービの標準形であるが、ヤコービの標準形において$t=\sin{\theta}$と置けば幾らか簡単なルジャンドルの標準形が得られる。

$F(\varphi,k)=\int_0^\varphi{\frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}d\theta}$
$E(\varphi,k)=\int_0^\varphi{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}d\theta}$
$\Pi(a;\varphi,k)=\int_0^\varphi{\frac{1}{(1-a\sin^2\theta)\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}d\theta}$

特定の母数の場合

$k=0$の場合は逆三角関数に、$k=1$の場合は逆双曲線関数になる。

$F(x,0)=\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt}=\int_0^{\sin^{-1}x}{\frac1{\sqrt{1-\sin^2\theta}}}(\sin\theta)'d\theta=\sin^{-1}x$
$F(x,1)=\int_0^x{\frac{1}{1-t^2}dt}=\int_0^{\tanh^{-1}x}{\frac1{1-\tanh^2\theta}}(\tanh\theta)'d\theta=\tanh^{-1}x$
$E(x,0)=\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt}=F(x,0)=\sin^{-1}x$
$E(x,1)=\int_0^x{dt}=x$

また特に$a=k^2$のとき、第三種楕円積分は第二種楕円積分で表すことができて、

$\Pi(k^2;\varphi,k)=\frac{1}{1-k^2}\left\{E(\varphi,k)-\frac{k^2\sin2\varphi}{2\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}\right\}$

となる。

第一種完全楕円積分

第一種完全楕円積分は、第一種楕円積分の積分範囲を$\theta=\pi/2$までとしたものである。

$K(k)=F\left(\frac{\pi}{2},k\right)=\int_0^{\pi/2}{\frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}}d\theta$

$k^2\sin^2\theta$のテイラー級数に展開した後、ウォリスの公式を用いて項別に積分すると

$\begin{align}K(k) &=\int_0^{\pi/2}{\left(1-k^2\sin^2\theta\right)^{-\frac{1}{2}}}d\theta\\ &=\int_0^{\pi/2}{\left(1+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{2^n}\frac{(k^2\sin^2\theta )^n}{n!}}\right)}d\theta\\ &=\frac{\pi}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}k^{2n}\int_0^{\pi/2}{\sin^{2n}\theta}d\theta}\\ &=\frac{\pi}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}k^{2n}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{\pi}{2}}\\ &=\frac{\pi}{2}\left(1+\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2k^{2n}}\right)\\ &=\frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2k^{2n}}\\ \end{align}$

となる。ただし、$(-1)!!=1$と定義する。

第二種完全楕円積分

第二種完全楕円積分は、第二種楕円積分の積分範囲を$\theta=\pi/2$までとしたものである。

$E(k)=E\left(\frac{\pi}{2},k\right)=\int_0^{\pi/2}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}d\theta$

$k^2\sin^2\theta$のテイラー級数に展開した後、ウォリスの公式を用いて項別に積分すると

$\begin{align}E(k) &=\int_0^{\pi/2}{\left(1-k^2\sin^2\theta\right)^{\frac{1}{2}}}d\theta\\ &=\int_0^{\pi/2}{\left(1-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2n-1)2^n}\frac{(k^2\sin^2\theta )^n}{n!}}\right)}d\theta\\ &=\frac{\pi}{2}-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2n-1)(2n)!!}k^{2n}\int_0^{\pi/2}{\sin^{2n}\theta}d\theta}\\ &=\frac{\pi}{2}-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2n-1)(2n)!!}k^{2n}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{\pi}{2}}\\ &=\frac{\pi}{2}\left(1-\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2\frac{k^{2n}}{2n-1}}\right)\\ &=\frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2\frac{k^{2n}}{1-2n}}\\ \end{align}$

となる。ただし、$(-1)!!=1$と定義する。

ルジャンドルの関係式

次の恒等式をルジャンドルの関係式という。

$K(k)E\left(\sqrt{1-k^2}\right)+E(k)K\left(\sqrt{1-k^2}\right)-K(k)K\left(\sqrt{1-k^2}\right)=\frac{\pi}{2}$

ランデン変換とガウス変換

次の恒等式をランデン変換という。

$F\left(\sin\alpha,k\right)=\frac{2}{1+k}F\left(\frac{1}{2}\sqrt{\left(1+k\right)^2\sin^2\alpha+\left(\sqrt{1-k^2\sin^2\alpha}-\sqrt{1-\sin^2\alpha}\right)^2},\frac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)$

次の恒等式をガウス変換という。

$F\left(\sin\alpha,k\right)=\frac{1}{1+k}F\left(\frac{(1+k)\sin\alpha}{1+k\sin^2\alpha},\frac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)$

楕円積分の応用

楕円の求積

楕円$x^2+\left(\frac{y}{c}\right)^2=1$の弧長は、

$\begin{align} L&=\int{ds}=\int{\sqrt{dx^2+dy^2}}=\int{\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}}dx\\ &=\int{\sqrt{1+\left(\mp\frac{cx}{\sqrt{1-x^2}}\right)^2}}dx\\ &=\int{\sqrt{\frac{1-x^2+c^2x^2}{1-x^2}}}dx \end{align}$

となる。離心率$k=\sqrt{1-c^2}$を用いれば、上式は、

$L=\int{\sqrt{\frac{1-k^2x^2}{1-x^2}}}dx$

となり、第二種楕円積分が現れる。 したがって、楕円の円周上で$x$座標が$0$の点から$x$座標が$x$の点までの弧長は$L(x)=E(x,k)$となる。 ここで$k=0$とすれば楕円は真円になり、弧長は$L(x)=E(x,0)=\sin^{-1}{x}$となる。 （ここでは$\sin$が$x$軸の方向になっていることに注意すること。）

「子午線弧#子午線弧長の計算」も参照

単振子の周期

「自由振動#振り子」を参照

関連項目

• 楕円関数