楕円積分

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以下の積分をそれぞれ、第一種、第二種、第三種の楕円積分(だえんせきぶん)という。

F(x,k)=\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)}}dt}
E(x,k)=\int_0^x{\sqrt{\frac{1-k^2 t^2}{1-t^2}}dt}
\Pi(a;x,k)=\int_0^x{\frac{1}{(1-at^2)\sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)}}dt}

|k|\leq{1}母数(modulus)、aを特性(characteristic)という。母数kの代わりにパラメーターm=k^2、或いはモジュラー角\alpha=\sin^{-1}kを用いることもあり、慣れない人を混乱させる種になっている。日本語の場合は、特性aを助変数(通常はparameterの訳語)と称することもあるので更に注意が必要である。

楕円弧長など、三次式、或いは四次式の平方根積分は楕円積分に帰着し、初等的に求まらないことが知られている。

ルジャンドルの標準形[編集]

最初に示したものはヤコービの標準形であるが、ヤコービの標準形においてt=\sin{\theta}と置けば幾らか簡単なルジャンドルの標準形が得られる。

F(\varphi,k)=\int_0^\varphi{\frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}d\theta}
E(\varphi,k)=\int_0^\varphi{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}d\theta}
\Pi(a;\varphi,k)=\int_0^\varphi{\frac{1}{(1-a\sin^2\theta)\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}d\theta}

特定の母数の場合[編集]

k=0の場合は逆三角関数に、k=1の場合は逆双曲線関数になる。

F(x,0)=\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt}=\int_0^{\sin^{-1}x}{\frac1{\sqrt{1-\sin^2\theta}}}(\sin\theta)'d\theta=\sin^{-1}x
F(x,1)=\int_0^x{\frac{1}{1-t^2}dt}=\int_0^{\tanh^{-1}x}{\frac1{1-\tanh^2\theta}}(\tanh\theta)'d\theta=\tanh^{-1}x
E(x,0)=\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt}=F(x,0)=\sin^{-1}x
E(x,1)=\int_0^x{dt}=x

また特にa=k^2のとき、第三種楕円積分は第二種楕円積分で表すことができて、

\Pi(k^2;\varphi,k)=\frac{1}{1-k^2}\left\{E(\varphi,k)-\frac{k^2\sin2\varphi}{2\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}\right\}

となる。

第一種完全楕円積分[編集]

第一種完全楕円積分は、第一種楕円積分の積分範囲を\theta=\pi/2までとしたものである。

K(k)=F\left(\frac{\pi}{2},k\right)=\int_0^{\pi/2}{\frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}}d\theta

k^2\sin^2\thetaテイラー級数に展開した後、ウォリスの公式を用いて項別に積分すると

\begin{align}K(k)
&=\int_0^{\pi/2}{\left(1-k^2\sin^2\theta\right)^{-\frac{1}{2}}}d\theta\\
&=\int_0^{\pi/2}{\left(1+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{2^n}\frac{(k^2\sin^2\theta )^n}{n!}}\right)}d\theta\\
&=\frac{\pi}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}k^{2n}\int_0^{\pi/2}{\sin^{2n}\theta}d\theta}\\
&=\frac{\pi}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}k^{2n}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{\pi}{2}}\\
&=\frac{\pi}{2}\left(1+\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2k^{2n}}\right)\\
&=\frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2k^{2n}}\\
\end{align}

となる。ただし、(-1)!!=1と定義する。

第二種完全楕円積分[編集]

第二種完全楕円積分は、第二種楕円積分の積分範囲を\theta=\pi/2までとしたものである。

E(k)=E\left(\frac{\pi}{2},k\right)=\int_0^{\pi/2}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}d\theta

k^2\sin^2\thetaのテイラー級数に展開した後、ウォリスの公式を用いて項別に積分すると

\begin{align}E(k)
&=\int_0^{\pi/2}{\left(1-k^2\sin^2\theta\right)^{\frac{1}{2}}}d\theta\\
&=\int_0^{\pi/2}{\left(1-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2n-1)2^n}\frac{(k^2\sin^2\theta )^n}{n!}}\right)}d\theta\\
&=\frac{\pi}{2}-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2n-1)(2n)!!}k^{2n}\int_0^{\pi/2}{\sin^{2n}\theta}d\theta}\\
&=\frac{\pi}{2}-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2n-1)(2n)!!}k^{2n}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{\pi}{2}}\\
&=\frac{\pi}{2}\left(1-\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2\frac{k^{2n}}{2n-1}}\right)\\
&=\frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2\frac{k^{2n}}{1-2n}}\\
\end{align}

となる。ただし、(-1)!!=1と定義する。

ルジャンドルの関係式[編集]

次の恒等式ルジャンドルの関係式という。

K(k)E\left(\sqrt{1-k^2}\right)+E(k)K\left(\sqrt{1-k^2}\right)-K(k)K\left(\sqrt{1-k^2}\right)=\frac{\pi}{2}

ランデン変換とガウス変換[編集]

次の恒等式をランデン変換という。

F\left(\sin\alpha,k\right)=\frac{2}{1+k}F\left(\frac{1}{2}\sqrt{\left(1+k\right)^2\sin^2\alpha+\left(\sqrt{1-k^2\sin^2\alpha}-\sqrt{1-\sin^2\alpha}\right)^2},\frac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)

次の恒等式をガウス変換という。

F\left(\sin\alpha,k\right)=\frac{1}{1+k}F\left(\frac{(1+k)\sin\alpha}{1+k\sin^2\alpha},\frac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)

楕円積分の応用[編集]

楕円の求積[編集]

楕円x^2+\left(\frac{y}{c}\right)^2=1の弧長は、

\begin{align}
L&=\int{ds}=\int{\sqrt{dx^2+dy^2}}=\int{\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}}dx\\
&=\int{\sqrt{1+\left(\mp\frac{cx}{\sqrt{1-x^2}}\right)^2}}dx\\
&=\int{\sqrt{\frac{1-x^2+c^2x^2}{1-x^2}}}dx
\end{align}

となる。離心率k=\sqrt{1-c^2}を用いれば、上式は、

L=\int{\sqrt{\frac{1-k^2x^2}{1-x^2}}}dx

となり、第二種楕円積分が現れる。 したがって、楕円の円周上でx座標が0の点からx座標がxの点までの弧長はL(x)=E(x,k)となる。 ここでk=0とすれば楕円は真円になり、弧長はL(x)=E(x,0)=\sin^{-1}{x}となる。 (ここでは\sinx軸の方向になっていることに注意すること。)

単振子の周期[編集]

関連項目[編集]