ルベーグ測度

ルベーグ測度（ルベーグそくど、英: Lebesgue measure）とは、数学において、ユークリッド空間上の長さ、面積、体積の概念を拡張したものである。この呼び名はフランスの数学者アンリ・ルベーグにちなむ。体積には「直和集合の体積は元の体積の和」という性質（加法性）がある。この性質を保ちながらより複雑な集合に対しても「体積」を定めることができるよう体積の概念を拡張できる。このような拡張は一意である。実解析、特にルベーグ積分で用いられる。体積と同様ルベーグ測度は値として ∞ をとりうる。解析学で普通に考えられるような集合に対してはルベーグ測度が与えられるものと考えてよいが、選択公理によって Rⁿ の部分集合でルベーグ測度を与えることができない（無理に与えると加法性が成り立たない）ものが存在することを証明できる。ルベーグ測度が与えられる集合はルベーグ可測であるという。以下の説明ではルベーグ可測な集合 A の測度を λ(A) で表す。

例

• 閉区間 [a, b] の一次元ルベーグ測度は b − a である。開区間 (a, b) の一次元ルベーグ測度も閉区間との差集合（つまり両端点のみからなる二元から成る集合 {a, b} ）の測度が 0 であることから、同じく b − a である。
• 集合 A が、[a, b] と [c, d] の 直積 (デカルト積) であれば、Aの二次元ルベーグ測度は、一次元ルベーグ測度の積 (b − a)(d − c) に等しい。
• 可算集合のルベーグ測度は必ず 0 である。カントール集合は、測度 0 の非可算集合の例である。

性質

n 次元ユークリッド空間 R ⁿ の n 次元ルベーグ測度は次のような性質を持つ。

1. Aを区間の直積： I ₁ × I₂ × ... × I _n とする。このとき A はルベーグ可測で$\lambda (A)=|I_{1}|\cdot |I_{2}|\cdots |I_{n}|$ である。ただしここで、 | J | は区間 J の長さを意味している。
2. Aを互いに素なルベーグ可測集合の無限を含む高々可算個の和集合とするとき、A はルベーグ可測で λ(A) は、各集合の測度の和(もしくは、無限級数)に等しい。
3. Aがルベーグ可測ならば、Aの補集合も可測である。
4. 任意のルベーグ可測集合 A について λ(A) ≥ 0 である。
5. ルベーグ可測集合 A、B について、A ⊆ B ⇒ λ(A) ≤ λ(B)である。
6. 可算個のルベーグ可測集合の和集合や共通部分は、ルベーグ可測である。
7. Rⁿ の開集合や閉集合(参考:距離空間)はルベーグ可測である。
8. λ(A) ＝ 0 となるルベーグ可測集合 A (零集合)について、A の部分集合はすべて零集合である。
9. A をルベーグ可測集合、x を Rⁿ の要素とする。x による A の平行移動を A + x ＝ {a + x : a ∈ A} と定義するとき、A + x はルベーグ可測で A と測度が同じである。

ルベーグ測度の構成

ルベーグ測度の現代的構成はカラテオドリの拡張定理を利用する、以下のようなものである。

自然数 n を固定して、Rⁿ 内の（n-次元）区間あるいは超矩形 (box) とは、（一次元）区間の直積

$B=\prod _{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]$

の形（但し、b_i ≥ a_i であるものとする）に書ける Rⁿ の部分集合の総称である。この区間 B の容積 (volume) vol(B) は

${\text{vol}}(B):=\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})$

で与えられる。Rⁿ の（高々）可算個の区間からなる区間族を総称して、Rⁿ の区間塊という。

Rⁿ の任意の部分集合 A に対して、Rⁿ の区間塊をBとするとき、A の外測度 λ^∗(A) を

$\lambda ^{*}(A)=\inf _{\mathbf {B} }{\Big \{}\sum _{B\in \mathbf {B} }{\text{vol}}(B){\Bigr \}}$

で定める。ただしここでの下限は、その和が A を被覆するような区間塊 B 全体に亘ってとるものとする。さらに、Rⁿ の部分集合 A がルベーグ可測であるとは、Rⁿ の任意の部分集合 S に対して、カラテオドリの条件が成り立つこと：

$\lambda ^{*}(S)=\lambda ^{*}(A\cap S)+\lambda ^{*}(S-A)$

を満たすこととする。ルベーグ可測な集合全体は完全加法族を成し、そのうえのルベーグ測度 λ が、任意のルベーグ可測集合 A に対して λ(A) = λ^∗(A) とおくことによって与えられる。

ヴィタリの定理によれば、実数全体 R の部分集合でルベーグ可測でないものが存在する。もっと一般に、Rⁿ の任意の部分集合 A に対し、A はルベーグ非可測な部分集合を必ず含む。

他の測度との関係

• ボレル測度が定義される集合については、ルベーグ測度と一致する。しかし、ボレル可測でないがルベーグ可測な集合も多く存在する。ボレル測度は平行移動不変だが、完備ではない。
• 局所コンパクト群で定義されるハール測度はルベーグ測度の一般化である。
• ハウスドルフ測度(参考:ハウスドルフ次元)は、Rⁿ上のn次元以下の集合の測度を決めるのに役立つルベーグ測度の一般化である。

その他

ルベーグ可測でない集合の "奇妙な" ふるまいとしては、選択公理の結果であるバナッハ＝タルスキーのパラドックスがあげられる。

歴史

アンリ・ルベーグが1899年から1901年にかけてフランスの科学誌「コント・ランデュ」(en) に投稿した 6 報の論文のうち、最初のものを除く 5 報が測度に関するものであった。その内容は、続く1902年に、彼の博士論文「積分・長さ・面積」の一部として発表された。

関連項目

• 測度
• ルベーグ積分
• ルベーグの密度定理
• 完全加法族
• 外測度