外測度

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数学において、外測度（がいそくど）とは、与えられた集合の全ての部分集合に対して非負の実数を与える関数である。外測度の一般理論は、カラテオドリが可測集合と測度の基準を与えるために用いたため発達した。カラテオドリの研究により多くの応用が見つかり、ハウスドルフ次元の定義にも用いられる。

[編集] 定義

形式的に、集合 X の冪集合2^X 上で定義される外測度 μ とは拡張された区間 [0, ∞] に値を持つ（つまり、無限大も許す非負値の）関数であって、次の性質を満たすもののことである：

• 
• 単調性:　 E₁ ⊂ E₂ ならば、

　　　　

• 劣加法性: E₁, E₂, E₃, ... について

　　　　

[編集] 外測度からの測度の構成

次の式を満たすものをμ-可測集合とする。

このときμ-可測集合全体は完全加法族となり、この集合の上で μは測度である。　

[編集] 関連項目

• カラテオドリの拡張定理