ヴィタリ集合

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数学において、ヴィタリ集合(ヴィタリしゅうごう)とはジュゼッペ・ヴィタリ(Giuseppe Vitali (1905))によって作られたルベーグ不可測な実数集合の基本的な例である。

ヴィタリの定理はそのような集合が存在することを保証する存在定理である。不可算に多くのヴィタリ集合が存在し、それらの存在は選択公理の仮定の下で示される。


可測集合[編集]

集合には '長さ' や '重さ' が定まるものがある。例えば、区間 [0, 1]は長さ1を持つと見なせる。; もっと一般的に、区間[a, b], ab, は長さ ba を持つと見なせる。このような区間を一様な密度の金属棒と見ると、同じように重さも定義可能である。集合 [0, 1] ∪ [2, 3] は長さ1の二つの区間の合併であるので、この集合の全長は2と考える。重さで考えても同様に2と考えられる。ここで自然に次の問題が発生する: 実数直線の任意の部分集合Eに対して、必ず '重さ' や '全長'は得られるのか? 例えば、[0,1]上の有理数集合はどんな重さになるであろうか。有理数集合は実数直線の中で稠密なので、非負の値が適切であろう。重さに最も近い一般化はσ-加法性を持つルベーグ測度である。この測度は[a, b]の長さに ba を 割り当て、可算集合である有理数全体の集合には0を割り当てる。ルベーグ測度が定められる集合を可測集合と呼ぶ。しかし、ルベーグ測度の構成(カラテオドリの拡張定理を使う)自体からは不可測集合の存在は明らかに分かることではない。その問題に対する答えは選択公理を仮定するかどうかをも問うことになる。

構成と証明[編集]

有理数集合 Q実数集合 R の普通の加法についての部分群を成す。なので加法の商群 R/Q (つまり、有理数分の差を持つ実数同士を集めた同値類による剰余群) は有理数集合の互いに交わらない"平行移動コピー"によって出来ている。この群の任意の元はある rR についての Q + r として書ける。

R/Q の元は R の分割の1ピースである。そのピースは不可算個あり、各ピースはそれぞれ R の中で稠密である。R/Q の元はどれも [0, 1] と交わっており、選択公理によって [0, 1] の部分集合で、R/Q の代表系になっているものが取れる。このようにして作られた集合がヴィタリ集合と呼ばれているものである。すなわち、ヴィタリ集合 V は [0, 1] の部分集合で、各 rR に対して vr が有理数になるような一意的な v を要素に持つものである。ヴィタリ集合 V は不可算であり、 u,v \in V, u \neq vであれば vu は必ず無理数である。ヴィタリ集合は不可測である。これを示すために V が可測だったとして矛盾を導く。q1, q2, ... を [−1, 1] の有理数の数え上げとする(有理数集合は可算なのでこれは可能)。V の構成から、平行移動による集合 V_k=V+q_k=\{v+q_k : v \in V\}, ただしk = 1, 2, ... はそれぞれ互いに交わらない。さらに、[0,1]\subseteq\biguplus_k V_k\subseteq[-1,2] である。ここで、ルベーグ測度のσ-加法性を使うと:

1 \leq \sum_{k=1}^\infty \lambda(V_k) \leq 3.

である。ルベーグ測度は平行移動について不変なので \lambda(V_k) = \lambda(V) である。ゆえに、

1 \leq \sum_{k=1}^\infty \lambda(V) \leq 3.

であるが、これは不可能である。一つの定数の無限和は0であるか無限大に発散するので、いずれにせよ [1, 3]の中には入らない。すなわち V は可測であってはいけない。つまりルベーグ測度 λ はいかなる値も λ(V) の値として定義してはいけない。


関連項目[編集]


参考文献[編集]

  • Herrlich, Horst (2006). Axiom of Choice. Springer. p. 120. 
  • Vitali, Giuseppe (1905). “Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta”. Bologna, Tip. Gamberinie Parmeggiani.