真理関数

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真理関数(しんりかんすう、Truth Function)とは、数理論理学において、幾つかの命題の組に一つの命題を対応させる写像のことである。

記号[編集]

  1. 真な命題という名称の記号 : \curlyvee
  2. 偽な命題という名称の記号 : \curlywedge

定義[編集]

1  L\ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}\ \{\curlyvee,\curlywedge\}.

2  任意の自然数 n に対して、 L^{n} から L への写像を n 変数の真理関数という。

3  1 変数の真理関数 \lnot を次のように定める。

X\in L に対して

\lnot\left(X\right) = 
\begin{cases} 
  \curlywedge,  & \mbox{if }X=\curlyvee \\
  \curlyvee, & \mbox{if }X=\curlywedge.
\end{cases}

\lnot(X)\lnot X と表わす。 \lnot XX否定 ( ひてい、negation ) という。

4  2 変数の真理関数 \lor を次のように定める。

(X,Y)\in L^{2} に対して

\lor\left(\left(X,Y\right)\right) = 
\begin{cases} 
  \curlyvee,  & \mbox{if }X=\curlyvee,\ Y=\curlyvee \\
  \curlyvee, & \mbox{if }X=\curlyvee,\ Y=\curlywedge \\
  \curlyvee, & \mbox{if }X=\curlywedge,\ Y=\curlyvee \\
  \curlywedge, & \mbox{if }X=\curlywedge,\ Y=\curlywedge. 
\end{cases}

\lor((X,Y))X\lor Y と表わす。 X\lor YX,Y論理和 ( ろんりわ、disjunction ) という。

5  2 変数の真理関数 \land を次のように定める。

(X,Y)\in L^{2} に対して

\land((X,Y)) = 
\begin{cases} 
  \curlyvee,  & \mbox{if }X=\curlyvee,\ Y=\curlyvee \\
  \curlywedge, & \mbox{if }X=\curlyvee,\ Y=\curlywedge \\
  \curlywedge, & \mbox{if }X=\curlywedge,\ Y=\curlyvee \\
  \curlywedge, & \mbox{if }X=\curlywedge,\ Y=\curlywedge. 
\end{cases}

\land((X,Y))X\land Y と表わす。 X\land YX,Y論理積 ( ろんりせき、conjunction ) という。

6  n 変数の任意の真理関数 F に対して


[F]\ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}\ \{(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})\ |\ (X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})\in L^{n},\ F((X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}))=\curlyvee)\}.

[F]F真理集合 ( しんりしゅうごう、truth set ) という。

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1  写像 F:L^{3}\to L を次のように定める。


F((X,Y,Z))=\lnot((X\lor Y)\land Z).

そのとき F は 3 変数の真理関数となる。

2


\begin{alignat}{2}
 [\lnot] & = \{X\ |\ X\in L,\ \lnot(X)=\curlyvee\} \\
      & = \{\curlywedge\}.
\end{alignat}

3


\begin{alignat}{2}
 [\lor] & = \{(X,Y)\ |\ (X,Y)\in L^{2},\ \lor((X,Y))=\curlyvee\} \\
      & = \{(X,Y)\ |\ (X,Y)\in L^{2},\ X\lor Y=\curlyvee\} \\
      & = \{(\curlyvee,\curlyvee),(\curlyvee,\curlywedge),(\curlywedge,\curlyvee)\}.
\end{alignat}

真理表[編集]

真理関数の定義を真理表 ( しんりひょう、truth table ) と呼ばれる表を用いて示すことがある。

例 1[編集]

\lnot の真理表
X \lnot X
\curlyvee \curlywedge
\curlywedge \curlyvee

例 2[編集]

\lor の真理表
X Y X\lor Y
\curlyvee \curlyvee \curlyvee
\curlyvee \curlywedge \curlyvee
\curlywedge \curlyvee \curlyvee
\curlywedge \curlywedge \curlywedge

性質[編集]

1  任意の自然数 n に対して、 n 変数の真理関数は全部で 2^{2^{n}} 個ある。

2 (ド・モルガンの法則)  任意の X,Y\in L に対して

\lnot(X\lor Y)=(\lnot X)\land(\lnot Y),
\lnot(X\land Y)=(\lnot X)\lor(\lnot Y).

3  n 変数の任意の真理関数は \lnot,\lor,\land を組み合わせて作ることができる。

4  n 変数の二つの任意の真理関数 F,G に対して


F=G\ \Leftrightarrow\ [F]=[G].

5  \left\langle L,\lor,\land\right\rangle は分配束である。

6  \left\langle L;\lor\ \land,\lnot \right\rangleブール束である。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  1. 前原昭二、復刊 数理論理学序説、共立出版株式会社、2010。