総乗

総乗（そうじょう）とは、積の定義される集合における多項演算の一つで、元の列の全ての積のことである。

定義

結合律を満たす積 × の定義される集合 M の元の列 a₁, a₂, …, a_n の総乗を

$\prod _{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}\times a_{2}\times \cdots \times a_{n}$

などと表す。記号 ∏ はギリシャ文字のパイ (Pi) であり、これは積 (Product、ギリシャ語でΠροϊόν) の頭文字 P に相当する文字である。

有限集合 E に対し、E の濃度を n とする。このとき、E の元を I = {1, 2, …, n} で添え字付けて、E の元の全体を「I を添え字集合とする元の列 (x_i)_i∈I 」とすることができる。この列の総乗を

$\prod E=\prod _{x\in E}x=\prod _{i\in I}x_{i}=\prod _{k=1}^{n}x_{k}$

などのように表す。ここで、E の濃度が 0、すなわち、添え字集合 I が空集合であってもよい。特に、集合 M が積 × に関する単位元 1_M を持つとき、空集合を添え字集合とする列（空な列）の総乗は 1_M であるとする。（空積も参照）

$\prod \emptyset =\prod _{x\in \emptyset }x=1_{M}$

積が非結合的な場合

積が結合的でないならば、積をとる順番が問題になるので、a₁ × a₂ × … × a_n という記号自体が意味を持たないが、たとえば、部分列を用いて以下のように帰納的に定義することは可能である。

• $p_{1}=a_{1},$
• $p_{k+1}=p_{k}\times a_{k+1}$

このとき、$p_{n}=\prod _{k=1}^{n}a_{k}$ と書くことにすると、

$\prod _{k=1}^{n}a_{k}=(\cdots ((a_{1}\times a_{2})\times a_{3})\times \cdots \times a_{n})$

の意味になる。このようなものはあまり応用がない。

無限乗積

総和と同様に、可算無限列 $(x_{n})_{n\in {\boldsymbol {\mathsf {N}}}}$ の総乗

$\prod _{n=1}^{\infty }x_{n}$

を定義することができ、無限積とか無限乗積 (infinite product) と呼ばれる。これらは極限操作であり、総和より微妙な意味で収束性を吟味しなければならない。

定義

実数や複素数からなる可算列 $(x_{n})_{n\in {\boldsymbol {\mathsf {N}}}}$ の無限乗積を定義する。無限乗積 $\prod _{n=1}^{\infty }x_{n}$ が収束するとは2条件

• ある番号 m から先では常に x_n ≠ 0 (n > m)
• 部分積 p_n := x_m+1 … x_n (n > m) がゼロでない値 P_m に n → ∞ の極限で収束する

が成り立つことをいう。無限乗積 $\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }x_{n}$ が収束するとき、その値を

$\prod _{n=1}^{\infty }x_{n}=x_{1}\dotsb x_{m}P_{m}$

と定める。この値は番号 m の取り方に依存しない。無限乗積が収束するならば、lim_n→∞ x_n = 1 が成り立つ。

また数列 $(x_{n})_{n\in {\boldsymbol {\mathsf {N}}}}$ に対して無限乗積 $\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+\vert x_{n}\vert )$ が収束するとき、無限乗積 $\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+x_{n})$ は絶対収束するという。無限乗積 $\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+x_{n})$ が絶対収束するのは無限級数 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$ が絶対収束するとき、かつそのときに限る。

例

三角関数の無限乗積展開

$\sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)$

$\cos \pi z=\prod _{n=1}^{\infty }\left\{1-{\frac {z^{2}}{(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right\}$

$\sinh \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)$

$\cosh \pi z=\prod _{n=1}^{\infty }\left\{1+{\frac {z^{2}}{(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right\}$

ウォリス積

$\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {\pi }{2}}$

オイラー乗積

$\zeta (s)=\prod _{p:{\text{prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}$

ガンマ関数

${\frac {1}{\Gamma (z)}}:=ze^{{\gamma }z}\prod _{m=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{m}}\right)e^{-z/m},\quad \gamma :=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log {n}\right)$

($\gamma$はオイラーの定数である)。

qポッホハマー記号 。

${\begin{aligned}&(a;q)_{\infty }:=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k}),\quad |q|<1,\\&(a;q)_{n}:={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}}.\\\end{aligned}}$

qガンマ関数

$\Gamma _{q}(x):=(1-q)^{1-x}\,{\frac {(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}},\quad |q|<1.$

行列を使ってqガンマ関数を定義することもできる。

参考文献

• Konrad, K. (1956). Infinite Sequences and Series. Dover. MR79110. Zbl 0070.05807. https://books.google.co.jp/books?id=u4QUAwAAQBAJ 

関連項目

• 総和
• 因数定理
• 階乗
• 超階乗