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2013年8月29日 (木) 02:17時点における版

ヤング率（英語：Young's modulus、縦弾性係数）は、弾性範囲で単位ひずみあたり、どれだけ応力が必要かの値を決める定数である。この名称はトマス・ヤングに由来する。

[ひずみ ε ]= [応力 σ ] / [ヤング率 E ]　　（フックの法則）より、

$E={\frac {\sigma }{\varepsilon }}$

である。

一方向の引張りまたは圧縮応力の方向に対するひずみ量の関係から求める。ヤング率は、縦軸に応力、横軸にひずみをとった応力ひずみ曲線の直線部の傾きに相当する。

たとえば、ヤング率が約10tf/mm²(=98GPa)である銅では、断面積1mm²、長さ1mのワイヤに10kgのオモリをぶら下げると、0.1%のひずみが生じる、すなわち約1mm伸びることなどを推定することに使う値である。

結晶の原子間距離の変化に対する抵抗というモデルがイメージである。原子間の凝集力が弾性的性質を決める。したがって応力と変形の機構が同じ種類の材質間では、融点と弾性係数の間にはある程度の相関がある。応力がある大きさ（比例限度）を超えると、結晶の不完全な部分が不可逆的に動くことによって変形することになるので、応力とひずみの関係はリニア（線形）ではなくなり、応力を取り除いても元の寸法に戻らなくなる。この現象を降伏という。

金属のヤング率は数十 - 数百GPaである。この値は100%の弾性ひずみを生じる応力の値であるが、実際の材料は1%以下のひずみで降伏するものが多いので、ヤング率は通常引張強さの数百倍の大きさである。

弾性的性質は温度によって変化するので解析時には注意が必要である。変化の近似式は

E=E_{0}-BT\exp \left(-{\frac {T_{c}}{T}}\right)

ここで E₀ は0[K]でのヤング率、B, T_c は材料によって異なる定数である。一例として、1000℃における鋼のヤング率は常温の2/3程度に減少する。

樹脂においては応力ひずみ線図のリニアの領域はほとんど存在しないのでセカント係数などを用いる。

主な物質のヤング率

注：以下に載せる値は目安であり、必ずしも保証されるものではない。

主な物質のヤング率
材料	G Paでのヤング率(E)	lbf/in² (psi)でのヤング率(E)
ゴム (小ひずみ)	0.01-0.1	1.5x10³-1.5x10⁴
PTFE (テフロン)	0.5	7.5x10⁴
低密度ポリエチレン	0.2	3.0x10⁴
HDPE	1.379	2.0x10⁵
ポリプロピレン	1.5-2	2.17x10⁵-2.9x10⁵
バクテリオファージカプシド	1-3	1.5x10⁵-4.35x10⁵
ポリエチレンテレフタラート	2-2.5 OR 2.8-3.1	2.9x10⁵-3.6x10⁵
ポリスチレン	3-3.5	4.35x10⁵-5.05x10⁵
ナイロン	3-7	2.9x10⁵-5.8x10⁵
MDF (中密度繊維板)	3.654	5.3x10⁵
松木材 (along grain)	8.963	1.3x10⁶
オーク木材 (along grain)	11	1.6x10⁶
高強度コンクリート (圧縮時)	30-50	4.35x10⁶
マグネシウム金属 (Mg)	45	6.5x10⁶
アルミ合金	69	1.0x10⁷
ガラス	65-90	9.4x10⁶-1.3x10⁷
黄銅と青銅	103-124	1.7x10⁷
チタン (Ti)	105-120	1.5x10⁷-1.75x10⁷
銅 (Cu)	110-130	1.6x10⁷-1.9x10⁷
炭素繊維強化プラスチック (50/50 繊維/樹脂, unidirectional, along grain)	125-150	1.8x10⁷ - 2.2x10⁷
錬鉄と鋼	190-210	3.0x10⁷
ベリリウム (Be)	287	4.15x10⁷
タングステン (W)	400-410	5.8x10⁷-5.95x10⁷
炭化珪素 (SiC)	450	6.5x10⁷
オスミウム (Os)^[1]	550	7.98x10⁷
炭化タングステン (WC)	450-650	6.5x10⁷-9.4x10⁷
カーボンナノチューブ [1]	1,000+	1.45x10⁸+
ダイアモンド (C)	1,050-1,200	1.5x10⁸-1.75x10⁸

弾性率の相関関係

等方均質弾性体では、ヤング率E、ポアソン比ν、剛性率Gの間に次の関係がある。

E=2G(1+ν)

同様にヤング率、ポアソン比、体積弾性率、剛性率、ラメの第一定数の五つの弾性率はそれぞれ、二つを用いて残りの三つを表すことができる。

詳細は「弾性率#弾性率の相関関係」を参照

脚注

^ http://www.engineeringtoolbox.com/young-modulus-d_417.html

[1] ttp://www.engineeringtoolbox.com/young-modulus-d_417.html

[1]

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 一方向の[[引張り]]または[[圧縮]]応力の方向に対するひずみ量の関係から求める。ヤング率は、縦軸に応力、横軸にひずみをとった応力ひずみ曲線の直線部の傾きに相当する。
-たとえば、ヤング率が約10t/mm<sup>2</sup>(=98GPa)である[[銅]]では、断面積1mm<sup>2</sup>、長さ1mのワイヤに10kgのオモリをぶら下げると、0.1%のひずみが生じる、すなわち約1mm伸びることなどを推定することに使う値である。
+たとえば、ヤング率が約10tf/mm<sup>2</sup>(=98GPa)である[[銅]]では、断面積1mm<sup>2</sup>、長さ1mのワイヤに10kgのオモリをぶら下げると、0.1%のひずみが生じる、すなわち約1mm伸びることなどを推定することに使う値である。
-[[結晶]]の[[原子]]間距離の変化に対する抵抗というモデルがイメージである。原子間の凝集力が弾性的性質をきめる。したがって応力と変形の機構が同じ種類の材質間では、[[融点]]と[[弾性率|弾性係数]]の間にはある程度の相関がある。応力がある大きさ（比例限度）をこえると、結晶の不完全な部分が不可逆的にうごくことによって変形することになるので、応力とひずみの関係はリニア（線形）ではなくなり、応力を取り除いてももとの寸法に戻らなくなる。この現象を[[降伏 (物理)|降伏]]という。
+[[結晶]]の[[原子]]間距離の変化に対する抵抗というモデルがイメージである。原子間の凝集力が弾性的性質を決める。したがって応力と変形の機構が同じ種類の材質間では、[[融点]]と[[弾性率|弾性係数]]の間にはある程度の相関がある。応力がある大きさ（比例限度）を超えると、結晶の不完全な部分が不可逆的に動くことによって変形することになるので、応力とひずみの関係はリニア（線形）ではなくなり、応力を取り除いても元の寸法に戻らなくなる。この現象を[[降伏 (物理)|降伏]]という。
-[[金属]]のヤング率は数十 - 数百である。この値は100%のひずみを生じる応力の値であるが、実際の材料は1%も伸びないものが多いので、ヤング率は[[強度|引張強さ]]の数百倍の大きさである。
+[[金属]]のヤング率は数十 - 数百GPaである。この値は100%の弾性ひずみを生じる応力の値であるが、実際の材料は1%以下のひずみで降伏するものが多いので、ヤング率は通常[[強度|引張強さ]]の数百倍の大きさである。
 弾性的性質は[[温度]]によって変化するので解析時には注意が必要である。変化の近似式は
 :<math>E = E_0 - BT \exp\left(-\frac{T_c}{T}\right)</math>
-ここで E<sub>0</sub> は0[K]でのヤング率、B, T<sub>c</sub> は材料によって異なる定数である。一例として、1000℃における鋼のヤング率は2/3ぐらいに減少する。
+ここで E<sub>0</sub> は0[K]でのヤング率、B, T<sub>c</sub> は材料によって異なる定数である。一例として、1000℃における鋼のヤング率は常温の2/3程度に減少する。
 [[樹脂]]においては応力ひずみ線図のリニアの領域はほとんど存在しないので[[セカント係数]]などを用いる。
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 ! 材料
 ! [[ギガ|G]][[パスカル|Pa]]でのヤング率(E)
-! [[ポンド/平方インチ|lbf/in²]] (psi)でのヤング率(E)
+! [[重量ポンド毎平方インチ|lbf/in²]] (psi)でのヤング率(E)
 |-
 | [[ゴム]] (小ひずみ)
@@ 81行目: / 81行目: @@
 | align="center" | 1.6x10<sup>6</sup>
 |-
-| 強化[[コンクリート]] (圧縮時)
+| 高強度[[コンクリート]] (圧縮時)
-| align="center" | 30-100
+| align="center" | 30-50
 | align="center" | 4.35x10<sup>6</sup>
 |-
@@ 93行目: / 93行目: @@
 | align="center" | 1.0x10<sup>7</sup>
 |-
-| [[ガラス]] (下欄も参照)
+| [[ガラス]]
 | align="center" | 65-90
 | align="center" | 9.4x10<sup>6</sup>-1.3x10<sup>7</sup>
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 == 弾性率の相関関係 ==
-等方均質弾性体では、ヤング率<math>E</math>、ポアソン比<math>\nu</math>、体積弾性率<math>K</math>、剛性率<math>G</math>(ラメの第二定数<math>\mu</math>)、ラメの第一定数<math>\lambda</math>の五つの弾性率はそれぞれ、二つを用いて残りの三つを表すことができる。その関係を下に示す。
+等方均質弾性体では、ヤング率''E''、[[ポアソン比]]''ν''、[[剛性率]]''G''の間に次の関係がある。
+:''E''=2''G''(1+''ν'')
-{| class="wikitable collapsible" style="margin:0 auto"  align="center"
-! colspan=11 |等方均質弾性体における各弾性率間の変換式
+同様にヤング率、ポアソン比、[[圧縮率#体積弾性率|体積弾性率]]、剛性率、[[ラメ定数|ラメの第一定数]]の五つの[[弾性率]]はそれぞれ、二つを用いて残りの三つを表すことができる。
-|-align="center"
-!  !! <math>E</math>（[[ヤング率]]）  !! <math>\nu</math>（[[ポアソン比]]） !! <math>K</math>（[[圧縮率#体積弾性率|体積弾性率]]） !! <math>G</math> （[[剛性率]]）!! <math>\lambda</math>（[[ラメ定数|ラメの第一定数]]）
+{{main|弾性率#弾性率の相関関係}}
-|-align="center"
-! <math>E, \nu</math>
-| <math>E</math> || <math>\nu</math> || <math>\dfrac{E}{3(1-2\nu)}</math> || <math>\dfrac{E}{2(1+\nu)}</math> || <math>\dfrac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}</math>
-|-align="center"
-! <math>E, K</math>
-| <math>E</math>
-| <math>\dfrac{3K-E}{6K}</math>
-| <math>K</math>
-| <math>\dfrac{3K E}{9K-E}</math>
-| <math>\dfrac{3K(3K-E)}{9K-E}</math>
-|-align="center"
-! <math>E, G</math>
-| <math>E</math>
-| <math>\dfrac{E-2G}{2G}</math>
-| <math>\dfrac{G E}{3(3G-E)}</math>
-| <math>G</math>
-| <math>\dfrac{G(E-2G)}{3G-E}</math>
-|-align="center"
-! <math>E, \lambda</math>
-| <math>E</math>
-| <math>\dfrac{2\lambda}{E+\lambda+\sqrt{E^{2}+9\lambda^{2}+2E\lambda}}</math>
-| <math>\dfrac{E+3\lambda+\sqrt{E^{2}+9\lambda^{2}+2E\lambda}}{6}</math>
-| <math>\dfrac{E-3\lambda+\sqrt{E^{2}+9\lambda^{2}+2E\lambda}}{4}</math>
-| <math>\lambda</math>
-|-align="center"
-! <math>\nu, K</math>
-| <math>3K(1-2\nu)</math>
-| <math>\nu</math>
-| <math>K</math>
-| <math>\dfrac{3K(1-2\nu)}{2(1+\nu)}</math>
-| <math>\dfrac{3K\nu}{1+\nu}</math>
-|-align="center"
-! <math>\nu, G</math>
-| <math>2G(1+\nu)</math>
-| <math>\nu</math>
-| <math>\dfrac{2G(1+\nu)}{3(1-2\nu)}</math>
-| <math>G</math>
-| <math>\dfrac{2G\nu}{1-2\nu}</math>
-|-align="center"
-! <math>\nu, \lambda</math>
-| <math>\dfrac{\lambda(1+\nu)(1-2\nu)}{\nu}</math>
-| <math>\nu</math>
-| <math>\dfrac{\lambda(1+\nu)}{3\nu}</math>
-| <math>\dfrac{\lambda(1-2\nu)}{2\nu}</math>
-| <math>\lambda</math>
-|-align="center"
-! <math>K, \mu</math>
-| <math>\dfrac{9K\mu}{6K+\mu}</math>
-| <math>\dfrac{3K-2\mu}{6K+2\mu}</math>
-| <math>K</math>
-| <math>\mu</math>
-| <math>K-\frac{2}{3}\mu</math>
-|-align="center"
-! <math>K, \lambda</math>
-| <math>\dfrac{9(K-\lambda)}{3K-\mu}</math>
-| <math>\dfrac{\lambda}{3K-\lambda}</math>
-| <math>K</math>
-| <math>\frac{3}{2}(K-\lambda)</math>
-| <math>\lambda</math>
-|-align="center"
-! <math>\mu, \lambda</math>
-| <math>\dfrac{\mu(3\lambda+2\mu)}{\lambda+\mu}</math>
-| <math>\dfrac{\lambda}{2\lambda+2\mu}</math>
-| <math>\dfrac{3\lambda+2\mu}{3}</math>
-| <math>\mu</math>
-| <math>\lambda</math>
-|}
 == 脚注 ==