調和数

調和数（ちょうわすう、英: harmonic divisor number）は、自然数のうち、全ての正の約数の調和平均が整数値をもつ数のことである。例えば6の約数の調和平均は $\left({\frac {4}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}}}\right)=2$　で整数値となるので6は調和数である。

調和数は無数に存在するかどうか分かっていないが、そのうち最も小さいものは1である。

調和数を1から小さい順に列記すると

1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190, …（オンライン整数列大辞典の数列 A001599）

完全数は全て調和数である。なぜなら完全数の約数の逆数和は2であり、約数は全部で偶数個あるため、完全数の約数の調和平均は必ず整数値をとるからである。

奇数の調和数は1以外発見されておらず、他にそのような数が存在するかどうかは分かっていない。

その他調和数に関連すること

n番目までの自然数の逆数の和を調和数とよぶこともある。この調和数はn≧2では整数値にならないことが知られている。区別のため完全数が含まれるほう（本項目）の調和数をオアの調和数とよぶこともある。オアは1948年に調和数の概念を考案した数学者の名前である。

関連項目

• 完全数
• 調和数列