三次曲線

数学において、三次曲線（さんじきょくせん、英: cubic）、特にユークリッド幾何学における平面三次曲線（英: cubic plane curve）は以下のような三次方程式によって定義される代数曲線である。

F(x,y,z)=0

ここで $(x:y:z)$ は射影平面上の斉次座標、またはアフィン空間の非斉次座標で $z = 1$ とした座標で、 $F$ は三次の斉次多項式、すなわち以下のような0でない三次単項式の線形結合とする。

x^{3},y^{3},z^{3},x^{2}y,x^{2}z,y^{2}x,y^{2}z,z^{2}x,z^{2}y,xyz

これら10個の項から成ることより、三次曲線は任意の可換体 $K$ 上で9次元の射影空間を成す。また三次曲線 $C$ を満たす1点 $P$ は1つの線形条件を課す。したがって9つの点を通る三次曲線はただ一つに決定される。 5つの点で決定する円錐曲線と比較してみると、2つの三次曲線が9つの点を通るならば、それらは束を成し、さらなる性質を持つこととなる（ケイリー=バッハラッハの定理（英語版））。

三次曲線には特異点を持つものもあり、射影直線におけるパラメトリック方程式となる。一方、特異点を持たない三次曲線は複素数のような代数的閉体上に9つの変曲点を持つ^[1]。これは、三次曲線を再定義するヘッセ行列の同次座標を $C$ と掛け合わせることにより示すことができる（ベズーの定理）。しかし、これらの点のうちは実射影平面上にあるのは3点だけであり^[2]、他の点は実射影平面上で曲線を描いても見ることはできない。特異点を持たない三次曲線の9つの変曲点は、そのうちの2つを通るすべての直線がちょうど3つの変曲点を含むという性質を持っている。

実射影平面上にある変曲点はニュートンによって研究され、非特異な三次曲線の実点が1つか2つの「オーバル」を通ることが発見された。これらのオーバルのうちの1つは、すべて射影直線を横切るので、ユークリッド平面に描いたときには見ることができず、3つの実変曲点を含む、1本または3本の無限の分岐として現れる。もう1つのオーバルは、存在するとしても変曲点を含まず、オーバルか2つの無限の分岐のように見える。円錐曲線の断面の様に直線はオーバルを最大2点で切断する。

非特異な三次曲線は $K$ 上の楕円曲線でもある。楕円曲線は普通、ワイエルシュトラスの楕円関数を変形したもので研究されており、三次関数の平方根で作られた有理関数上で定義されている。これはワイエルシュトラス標準形の無限遠点としてはたらく $K$ -有理点に依存する。 $K$ が有理数体のとき多くの三次曲線はそのような点を持たない。

尖点や二重点など、特異的な三次曲線の特異点は限られている。そのような3次曲線は、2次曲線と直線、または3つの直線に退化する。したがって2次曲線と直線の場合は、2つのニ重点または二重尖点（英語版）、3つの直線の場合はまたは3つのニ重点か1つの三重点（共点）を持つ。

三角形の三次曲線

$△ ABC$ の辺について $a=|BC|,$ $b=|CA|,$ $c=|AB|$ とする。 $△ ABC$ の有名な三次曲線は様々な三角形の中心を通る。以下は斉次座標である三線座標と重心座標を用いる。

三線座標から重心座標への変換は以下の様に行われれる。

x\to bcx,\quad y\to cay,\quad z\to abz;

重心座標から三線座標への変換は以下の様に行われれる。

x\to ax,\quad y\to by,\quad z\to cz.

三次曲線の多くは以下の形式で表される。

f(a,b,c,x,y,z)+f(b,c,a,y,z,x)+f(c,a,b,z,x,y)=0.

この式は下記のような上の式を略した表記を用いることもある。

\sum _{\text{cyclic}}f(x,y,z,a,b,c)=0

.

また $X$ の等角共役点を $X*$ とする。このとき三線座標において $X=x:y:z$ ならば $X^{*}={\tfrac {1}{x}}:{\tfrac {1}{y}}:{\tfrac {1}{z}}$ が成り立つ。

ノイベルグ三次曲線

三線座標: $\sum _{\text{cyclic}}(\cos {A}-2\cos {B}\cos {C})x(y^{2}-z^{2})=0$

重心座標: $\sum _{\text{cyclic}}(a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2}-2a^{4})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$

ノイベルグ三次曲線（Neuberg cubic）は $X*$ が直線 $EX$ 上（ $E$ はオイラー無限遠点 $X (30)$ 、オイラー線方向の無限遠点）にあるような点 $X$ の軌跡、つまり $XX*$ がオイラー線と平行になるような点の軌跡である。 $X$ を辺 $BC, CA, AB$ で鏡映した点を $X A, X B, X C$ とし、 $△ X A X B X C$ と $△ ABC$ が配景な $X$ の軌跡とも定義される。

ノイベルグ三次曲線は頂点、内心と傍心、外心、垂心、フェルマー点、等力点、オイラー無限遠点などを通る。

Berhard GibertのCubics in the Triangle PlaneではK001と登録されている。

17点三次曲線（Thomson Cubic）

三線座標: $\sum _{\text{cyclic}}bcx(y^{2}-z^{2})=0$

重心座標: $\sum _{\text{cyclic}}x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$

トムソン三次曲線は $X*$ が直線 $GX$ （ $G$ は重心）上にあるような点 $X$ の軌跡である。

トムソン三次曲線は頂点、内心と傍心、重心、外心、垂心、類似重心、辺の中点などを通る。

Cubics in the Triangle PlaneではK002 として登録されている。

ダルブー三次曲線

三線座標: $\sum _{\text{cyclic}}(\cos {A}-\cos {B}\cos {C})x(y^{2}-z^{2})=0$

重心座標: $\sum _{\text{cyclic}}(2a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2}-3a^{4})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$

ダルブー三次曲線（Darboux Cubic）は $X*$ が直線 $LX$ 上（ $L$ はド・ロンシャン点）にあるような点 $X$ の軌跡である。ダルブー三次曲線上の $X$ の垂足三角形はチェバ三角形で、チェバ三角形の元の点はリュカ三次曲線を成す。また、 $X$ の垂足三角形は $X$ の反チェバ三角形と配景的で、その配景の中心はトムソン三次曲線を成す。

ダルブー三次曲線は頂点、内心と傍心、外心、垂心、ドロンシャン点、頂点の外接円に対する対蹠点などを通る。

Cubics in the Triangle Planeでは K004 として登録されている。

ナポレオン-フォイエルバッハ三次曲線

三線座標: $\sum _{\text{cyclic}}\cos(B-C)x(y^{2}-z^{2})=0$

重心座標: $\sum _{\text{cyclic}}(a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$

ナポレオン-フォイエルバッハ三次曲線（Napoleon-Feuerbach cubic）は $X*$ が直線 $NX$ 上（ $N = X (5)$ ,九点円の中心）にある点 $X$ の軌跡である。

ナポレオン-フォイエルバッハ三次曲線は頂点、内心と傍心、外心、垂心、ナポレオン点などを通る。

Cubics in the Triangle Planeでは K005 として登録されている。

リュカ三次曲線

三線座標: $\sum _{\text{cyclic}}\cos(A)x(b^{2}y^{2}-c^{2}z^{2})=0$

重心座標: $\sum _{\text{cyclic}}(b^{2}+c^{2}-a^{2})x(y^{2}-z^{2})=0$

リュカ三次曲線（Lucas cubic）は $X$ のチェバ三角形がダルブ―三次曲線上の点の垂足三角形となるような点 $X$ の軌跡である^[3]。

リュカ三次曲線は頂点、反中点三角形の頂点、シュタイナー外接楕円の焦点、重心、垂心、ジェルゴンヌ点、ナーゲル点、ド・ロンシャン点などを通る。

Cubics in the Triangle PlaneではK007 として登録されている。

第一ブロカール三次曲線

三線座標: $\sum _{\text{cyclic}}bc(a^{4}-b^{2}c^{2})x(y^{2}+z^{2})=0$

重心座標: $\sum _{\text{cyclic}}(a^{4}-b^{2}c^{2})x(c^{2}y^{2}+b^{2}z^{2})=0$

$△ A'B'C'$ を第一ブロカール三角形（1st Brocard cubic）、 $X A, X B, X C$ .をそれぞれ $XA', XB', XC'$ と $BC, CA, AB,$ の交点とする。このとき $X A, X B, X C$ が共線となるような点 $X$ の軌跡を第一ブロカール三次曲線と言う。

第一ブロカール三次曲線は頂点、第一,第三ブロカール点の頂点、重心、類似重心、シュタイナー点などを通る。

Cubics in the Triangle Planeでは K017として登録されている。

第二ブロカール三次曲線

三線座標: $\sum _{\text{cyclic}}bc(b^{2}-c^{2})x(y^{2}+z^{2})=0$

重心座標: $\sum _{\text{cyclic}}(b^{2}-c^{2})x(c^{2}y^{2}+b^{2}z^{2})=0$

第二ブロカール三次曲線（2nd Brocard cubic）は直線 $XX*$ の、 $X$ , $X*$ を通る外接円錐曲線に対する極がブロカール軸上にあるような点 $X$ の軌跡である。頂点、重心、類似重心、フェルマー点、等力点、パリー点、第二,第四ブロカール三角形の頂点を通る。

Berhard GibertのCubics in the Triangle Planeでは K018として登録されている。

1st equal areas cubic

第一等積三次曲線: $X$ のチェバ三角形と $X*$ のチェバ三角形の面積が等しくなるような点 $X$ の軌跡。

三線座標: $\sum _{\text{cyclic}}a(b^{2}-c^{2})x(y^{2}-z^{2})=0$

重心座標: $\sum _{\text{cyclic}}a^{2}(b^{2}-c^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$

1st equal areas cubicは $X$ のチェバ三角形と $X*$ のチェバ三角形の面積が等しくなるような点 $X$ の軌跡である。 $X*$ が直線 $S*X$ 上( $S = X (99)$ ,シュタイナー点)にあるような点 $X$ の軌跡とも定義される。

1st equal areas cubicは内心と傍心、シュタイナー点、第一,第二ブロカール点を通る。

Berhard GibertのCubics in the Triangle Planeでは K021として登録されている。

2nd equal areas cubic

三線座標: $(bz+cx)(cx+ay)(ay+bz)=(bx+cy)(cy+az)(az+bx)$

重心座標: $\sum _{\text{cyclic}}a(a^{2}-bc)x(c^{3}y^{2}-b^{3}z^{2})=0$

2nd equal areas cubicは三線座標で $X=x:y:z$ , $X_{Y}=y:z:x$ , $X_{Z}=z:x:y.$ とし、 $X Y$ と $X Z$ のチェバ三角形の面積が等しくなるような点 $X$ の軌跡である。

2nd equal areas cubicは内心、重心、類似重心 X(31), X(105), X(238), X(292), X(365), X(672), X(1453), X(1931), X(2053)などを通る。

Cubics in the Triangle Planeでは K155として登録されている。

出典

^ Bix 2006, p. 228, Exercise 12.24.
^ Bix 2006, p. 224, Exercise 12.8.
^ サーモン『解析幾何学 : 円錐曲線』山海堂出版部、1914年、732頁。doi:10.11501/952208。

参考文献

Bix, Robert (2006), Conics and Cubics: A Concrete Introduction to Algebraic Curves (Second ed.), New York: Springer, ISBN 978-0387-31802-8, MR2242725, Zbl 1106.14014 .
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Cerin, Zvonko (1999), “On the cubic of Napoleon”, Journal of Geometry 66 (1–2): 55–71, doi:10.1007/BF01225672 .
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Cundy, H. M. & Parry, Cyril F. (2000), “Geometrical properties of some Euler and circular cubics (part 2)”, Journal of Geometry 68 (1–2): 58–75, doi:10.1007/BF01221061 .
EhrmannJean-Pierre & GibertBernard「A Morley configuration」『Forum Geometricorum』第1巻、51–58頁、2001年。 .
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GibertBernard「Orthocorrespondence and orthopivotal cubics」『Forum Geometricorum』第3巻、1–27頁、2003年。 .
Kimberling, Clark (1998), “Triangle Centers and Central Triangles”, Congressus Numerantium 129: 1–295 . See Chapter 8 for cubics.
KimberlingClark「Cubics associated with triangles of equal areas」『Forum Geometricorum』第1巻、161–171頁、2001年。 .
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Pinkernell, Guido M. (1996), “Cubic curves in the triangle plane”, Journal of Geometry 55 (1–2): 142–161, doi:10.1007/BF01223040 .
Salmon, George (1879), Higher Plane Curves (3rd ed.), Dublin: Hodges, Foster, and Figgis .

外部リンク

A Catalog of Cubic Plane Curves (archived version)
Points on Cubics
Cubics in the Triangle Plane
Special Isocubics in the Triangle Plane (pdf), by Jean-Pierre Ehrmann and Bernard Gibert
“Real and Complex Cubic Curves - John Milnor, Stony Brook University [2016]”. YouTube. Graduate Mathematics (June 27, 2018). 2024年3月24日閲覧。 lecture in July 2016, ICMS, Edinburgh at conference in honour of Dusa McDuff's 70th birthday

[FOOTNOTEBix2006228Exercise_12.24-1] Bix 2006, p. 228, Exercise 12.24.

[FOOTNOTEBix2006224Exercise_12.8-2] Bix 2006, p. 224, Exercise 12.8.

[3] サーモン『解析幾何学 : 円錐曲線』山海堂出版部、1914年、732頁。doi:10.11501/952208。

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