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ディガンマ関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
実数x に対するψ(x)の挙動
複素平面上でのψ(z )。点z における色が ψ(z) の値を表しており、濃いほど 0 に近い。色調はその値の偏角を表す。

数学において、ディガンマ関数(でぃがんまかんすう、: digamma function)あるいはプサイ関数(ぷさいかんすう、: psi function)とはガンマ関数対数微分で定義される特殊関数[1]ポリガンマ関数の一種である。

定義

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ガンマ関数 に対し、その対数微分

ディガンマ関数と呼ぶ。

ディガンマ関数は、 で一位のをもち,それらの点を除く全複素平面では解析的になる。

基本的性質

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ガンマ関数のワイエルシュトラスの無限乗積表示

を対数微分することで、ディガンマ関数における

という表示を得る。特に とすれば、次の特殊値

を得る。但し、オイラーの定数である。

また、ディガンマ関数は次の漸化式を満たす[2]

この関係式から、一般に

であり、特に とすれば、特殊値

が得られる。

級数表示

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ディガンマ関数とその導関数 で次の級数表示を持つ。

これらの級数は、ガンマ関数のワイエルシュトラスの無限乗積表示

の対数微分から導かれるものである、

また、 でのテイラー展開により、 の領域で次のように級数表示される。

ただし、リーマンゼータ関数を表す。

積分表示

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のとき、ディガンマ関数は次の積分表示を持つ。

但し、双曲線余接関数を表す。

また、ディガンマ関数同士の差について、以下が成り立つ。

相反公式

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ガンマ関数の相反公式に対し、対数微分をとることで次の関係式が導かれる。

但し、余接関数を表す。

漸近展開

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のとき、ディガンマ関数は次の漸近展開をもつ。

但し、ベルヌーイ数である。

特殊値

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ディガンマ関数は、正の整数において、次の値をとる。

但し、調和数を表す。

また、正の半整数において、次の値をとる。

脚注

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  1. ^ Abramowitz & Stegun 1965, p. 258, 6.3. Psi (Digamma) Function.
  2. ^ 差分作用素 を用いると、これは となる。つまりディガンマ関数 不定和分のひとつである。

参考文献

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関連項目

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