有理関数

数学における有理関数（ゆうりかんすう、英: rational function）は、二つの多項式をそれぞれ分子と分母に持つ分数として書ける関数の総称である。抽象代数学においては変数と不定元とを区別するので、後者の場合を有理式と呼ぶ。

定義

2次の有理関数の例：
$y={\frac {x^{2}-3x-2}{x^{2}-4}}$

一変数の場合（ $x$ とする）、有理関数は次の形の関数である：

f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}

ここで $P,Q$ は $x$ の任意の多項式である。ただし $Q$ はゼロ多項式（0となる多項式）であってはならない。上の $f$ の定義域は、分母の $Q(x)$ が0とならない全ての $x$ から成る。

有理方程式とは、二つの有理式を等しいとおいて得られる方程式である。これには通常の（数の比である）分数と同様に、分母を払う等の操作を行ってよい。ただしそうして得た解のうち、分母が0になるようなものは元の有理方程式の解として不適切として除かれる。

例

次の有理関数

f(x)={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}

は、分母の零点である $x^{2}=5$ なる $x$ 、すなわち $x=\pm {\sqrt {5}}$ においては定義されない。なお、この有理関数は、 $x\to \infty$ で $x/2$ に漸近する。

また次の有理関数

f(x)={\frac {x^{2}+2}{x^{2}+1}}

は全ての実数について定義されているが、全ての複素数については定義されていない。これもやはり $x=\pm i$ が分母の零点となっているからであり、その2点が定義域から除かれる。

自明な例としては、 $f(x)=x^{2}+1$ 等の多項式関数も有理関数に含まれる。これは分子が2次の多項式 $x^{2}+1$ 、分母は0次の多項式 1 であるとみなせる。さらに自明な例として、他に $f(x)=\pi$ 等の定数関数も有理関数に含まれる。これは分子が0次の多項式 $\pi$ 、分母も0次の多項式 1 であるとみなせる。ここで注意すべきは、 $\pi$ が無理数であることと、上の $f$ が有理関数であることは両立する点である。「関数が有理関数である/ない」という概念と、「返り値が有理数である/ない」という概念を混同してはならない。