「凸関数」の版間の差分

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(en:Convex function#Definition 2016 May 14(Sat) 19:33(UTC)を翻訳・加筆)
を満たす関数である(従って、下に凸な関数の事である)。
 
{{math|−''f''}} が凸関数のとき、{{mvar|f}} を'''[[凹関数]]'''(おうかんすう、{{en|[[:en:Concave function|concave function]]}})と呼ぶ。凸関数を「下に凸な関数」、凹関数を「上に凸な関数」と称することもある。
 
== 定義 ==
<math>{{mvar|X</math>}} をある実ベクトル空間内の凸集合として、{{mvar|f}} {{math|''f'' : ''X'' → '''R'''}} なる関数とする。
* このとき {{mvar|f}}は次の条件を満たせば'''凸'''であるとは次の条件を満たすことをえる
::<math>\forall x_1, x_2 \in X, \forall t \in [0, 1]: \qquad f(tx_1+(1-t)x_2)\leq t f(x_1)+(1-t)f(x_2).</math>
* また、{{mvar|f}} が'''狭義の凸'''{{mvar|f}}であるなる条件は次を満たすこおりをいう
::<math>\forall x_1 \neq x_2 \in X, \forall t \in (0, 1): \qquad f(tx_1+(1-t)x_2) < t f(x_1)+(1-t)f(x_2).</math>
*関数 {{math|−''f''}} が(狭義の)凸であるとき、{{mvar|f}} は(狭義の) [[凹関数|凹]]([[:en:Concave function|英語版]])であるという。
 
== 凸関数の性質 ==
区間上の 1 変数微分可能な関数が凸関数であるための必要十分条件は、微分が[[単調関数|単調非減少]]であることである。
 
また 1 変数 2 階微分可能な関数が、凸関数であることの必要十分条件は、2 階微分が非負であることである。また、2 階微分が正ならば、狭義凸関数である。この[[逆]]は成立しない。例えば、{{math|''y'' {{=}} ''x'' {{sup|4}}}} は狭義凸関数であるが、2 階微分は正ではない。
 
より一般的に、[[滑らかな関数|{{math|''C'' {{sup|2}}}} 級関数]]が凸関数であるための必要十分条件は、凸集合の内部で、[[ヘッセ行列]]が[[エルミート行列|半正値]]であることである。
 
{{mvar|f , g}} が凸関数であるとき、非負の {{mvar|a , b}} について {{math|''af'' + ''bg''}} は凸関数である。同様に、{{math|max {{(}}''f'' , ''g'' {{)}}}} も凸関数である。
 
凸関数の[[極小値]]は[[最小値]]である。狭義凸関数は最小値を取る点が存在するなら 1 点である{{sfn|Rockafellar|Wets|1998|loc={{google books quote|id=w-NdOE5fD8AC|page=41|Theorem 2.6 (characteristics of convex optimization)}}}}。
 
== 対数凸関数 ==
定義域において非負であり、その[[対数]]が凸である関数を'''{{仮リンク|対数凸関数|en|Logarithmically convex function}}''' ({{en|''logarithmically convex function''}} ) という。対数凸関数は、それ自体凸関数である。
 
== 例 ==
*{{math|''x'' {{sup|2}}}} は凸関数であるが、対数凸関数ではない。
*{{math|''x'' {{sup|3}}}} は {{math|''x'' &gt; 0}} において凸関数であり、{{math|''x'' &lt; 0}} において凹関数である。
*[[指数関数]] {{math|e''{{sup|x}}''}} は凸関数であり、狭義ではない対数凸関数である。
*[[ガンマ関数]] {{math|&Gamma;(''x'' )}} は {{math|''x'' &gt; 0}} において対数凸関数である。
*[[絶対値]]関数 {{math|{{!}}''x'' {{!}}}} は {{math|''x'' {{=}} 0}} で微分不可能であるが凸関数である。
*区間 {{math|{{!(}}0, 1{{)!}}}} 上で、{{math|''f'' (0) {{=}} ''f'' (1) {{=}} 1, 0 &lt; ''x'' &lt; 1}} のとき {{math|''f'' (''x'' ) {{=}} 0}} で定義された {{mvar|f}} は不連続であるが、凸関数である。
*[[線形写像]]は狭義ではない凸関数であり、狭義ではない凹関数でもある。
*[[アフィン写像]]は凸関数であり、凹関数でもある。
|first1 = R. Tyrrell
|last2 = Wets
|first2 = Roger J. -B.
|year = 1998
|title = Variational analysis
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