波束

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波束(はそく、: wave packet, wave train)は、時間的・空間的なサイズが有限な波のこと[1]

波の重ね合わせと波束[編集]

波束は、多くの異なる波の重ね合わせによって作ることができる。多くの波が干渉した結果、空間の小さな領域にだけ波が存在し、それ以外の部分では波が存在しないような形状の波束ができる[2]。ただし幅の狭い波束を作るには、多くの周波数の波を重ね合わせる必要がある。簡単のために一次元を考えると、一般的に波束は次のような平面波または正弦波の重ね合わせとして表される。

係数 1/2フーリエ変換に由来する。振幅 A(k) は平面波解の重ね合わせ係数である。この重ね合わせ係数は t = 0 での ψ(x, t) を逆フーリエ変換することによって表すことができる。

分散[編集]

平面波 ei[kxω(k)t] において、角周波数 ω(k)波数 k の関係を分散関係と呼ぶ。角周波数が波数に比例するとき「分散がない」と言う。一方で、角周波数が波束に比例しないときを「分散がある」という。

波束を構成するそれぞれの波や、それらが合成してできた波束の運動は、波動方程式によって決められる。その波動方程式によって分散関係も決まり、分散関係によって伝播する波束の形状が一定のままである(分散しない)か、変化する(分散する)かに分けることができる。

ガウス波束[編集]

物理学で最もよく用いられる波束として、ガウス波束が挙げられる。平面波 φk(x) = eikx重ね合わせて、次のような定常的な波束を考える。

ただし重ね合わせ係数は、

このガウス積分を実行すると、

このようなガウス関数と平面波の積で表された波束をガウス波束と呼ぶ[3]

ガウス波束の伝播[編集]

波が時刻 t = 0φk(x, 0) = eikx であった場合、その後の時間変化は波動方程式を解くことで求まり、t = t では φk(x, t) = ei(kxωkt) となる。この平面波を重ね合わせることで、ガウス波束の時間変化がわかる。

ただしその挙動は、波動方程式によって決められる分散関係 ω = ω(k) によって大きく異なる。

古典的なガウス波束[編集]

分散を伴わない波束

古典力学における三次元の波動方程式

を考える。ここで c は波の伝播速度である。この波動方程式は、平面波u(x, t) = ei(kxωkt) を持つが、その分散関係は次のように表される。

つまりこの場合は分散がない。

簡単のために一次元を考えると、一般解は次のように表される。

右辺の第一項は xct についての関数であり、x についての関数を ct だけ正の方向に移動させたものである。よって波が正の x 方向に速さ c で伝播する状態を表すことがわかる。第二項は x + ct の関数であるため、波が負の x 方向に伝播する状態を表す。同様に波束も ω(k) = kc のときは u(x, t) = F(xct) であるため右方向へ移動し、ω(k) = −kc のときは u(x, t) = F(x + ct) であるため左方向へ移動する。

例えば時刻 t = 0 でガウス型波束

であったとする。重ね合わせ係数は逆フーリエ変換により

と得られるため、このガウス波束の時間変化は分散関係 ω = ck を用いると次のように表される。

この虚部は余弦波に垂直偏光する正弦波を表す。最初に示したアニメーションは、この分散を伴わない伝播をする波束の、実部と虚部を表したものである。

量子的なガウス波束[編集]

分散を伴う波束
初めは不確定性が最小であったガウス波束が、一定の運動量平均値を持って自由空間を移動するときの、1次元位置空間における確率密度の変化

自由粒子の固有状態である平面波から作られるガウス波束を考える。3次元の自由粒子のシュレーディンガー方程式は、

この解の分散関係は次のように表され、この場合は分散があることがわかる。

簡単のために1次元で考える。H0 = −ħ2/2md/dx の固有値問題を解くと、固有状態である平面波 φk(x) = eikx と固有エネルギー Ek = ħ2k2/2m が得られる。この平面波を係数 α(k) = 4a2/π exp[−a2(k′ − k)2/2] として重ね合わせると、次のようなガウス波束が得られる。

時刻 t = 0 で自由粒子の状態が φk(x, 0) = eikx であった場合、その後の時間変化は時間依存シュレーディンガー方程式を解くことで φk(x, t) = ei(kxωkt) と求まる。ただし

である。このように量子論では一般的に分散がある。この時間変化する平面波を係数 α(k) = 4a2/π exp[−a2(k′ − k)2/2] として重ね合わせると、次のようなガウス波束の時間変化が求まる。

これを二乗したものである確率密度は、次のようにガウス波束であることがわかる。

このガウス関数は x = ħk/mt で極大となるため、群速度 v = ħk/m で移動する波束であることがわかる。

また時刻 t = t でのガウス波束の幅は a′ = a 1 + (ħt/ma2)2 であるため、時間とともに波束の幅は広がっていき、最終的には空間中に広がることがわかる[3]。たとえば、電子の波束が最初はオングストロームの領域、すなわち 10−10 m に局在していた場合、波束の幅はおよそ 10−16 s で倍になる。明らかに、粒子の波束は自由空間を非常に早く広がっていく[4]。たとえば 1 ms 後では、幅は 1 km 程度に増加する。

波束と不確定性原理[編集]

量子論では不確定性原理 Δx⋅Δpħ/2 のため、位置 x運動量 p の両方が確定した状態、すなわち Δx = Δp = 0 は実現しない。しかしプランク定数は非常に小さい値なので ΔxΔp がどちらもかなり小さいような状態は可能であり、そのようなときの波動関数は波束で表される。この波束状態に対して位置 x と運動量 p の測定をしたとき、測定精度が Δx, Δp より粗い場合は、ΔxΔp は測定誤差に埋もれてしまい、粒子は古典的な粒子との違いが目立たなくなる。逆に古典的な粒子のように振る舞う状態は、波束状態だと考えることができる[5]

最小波束状態[編集]

量子論においてガウス波束は最小不確定状態とも呼ばれる。t = 0 での原点を中心とした3次元ガウス波束を次のように書き直す[6][7]

ここで a は正の実数で、波束の幅の2乗である。

t = 0 でのフーリエ変換も、波数ベクトル k についてのガウス関数となっている。

このガウス波束の幅は、a の逆数であり、

よって不確定性関係において等号が成立している。

波束の幅が運動とともに線形的に広がっていくことは、運動量の不確定性を反映している。波束が Δx = a/2 ほどの狭い範囲に制限されていると、運動量は ħ/2a ほどの不確定性を持つ。波束は ħ/m2a の速度で広がり、時間 tħt/m2a ほど進む。不確定性関係は等号から大きく外れ、最初の不確定性 Δx⋅Δp = ħ/2 は、t が大きくなると ħt/ma 倍に増加する。

脚注[編集]

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参考文献[編集]

洋書
和書

関連項目[編集]

外部リンク[編集]