波束

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分散を伴わない波束
分散を伴う波束

波束(はそく、: wave packet, wave train)は、複数のが一体となって同時に運動するときの波動の短い"塊"である。

概要[編集]

波束は、位相および振幅を持った異なる波数正弦波成分の無限の集合へと分解でき、逆にその成分から合成もできる。これらの波束は、空間の小さな領域に局在した場合には干渉を起こし、空間中に拡散した場合には干渉を打ち消す[1]。その波動方程式の発展に依存して、伝播している間の波束の包絡は一定のままである(分散しない)か、変化する(分散する)かに別れる。量子力学では、波束が特別な意義を持つ。それは、ある特定の状態の一つまたは複数の粒子がある与えられた位置と運動量で測定される確率を記述する"確率波"として解釈される。このように、波束は波動関数と類似している。

量子力学のシュレーディンガー方程式を適用することによって、系の時間発展を演繹することができる。これは、古典力学におけるハミルトニアンによる形式的手法と類似のプロセスである。このとき、その波束はシュレーディンガー方程式の数学的解である[2]。波束解の二乗の下にある領域は、ある領域に粒子を発見できる確率密度関数の値として解釈される。シュレーディンガー方程式の解の分散的な特性は、シュレーディンガーの元来の解釈を破棄しボルンの規則 (Born ruleを受け入れるのに重要な役割を果たす。

波の座標表現(直交座標系など)において、波の位置は波束の位置によって与えられる。さらに、波束が空間的により狭く局在して、それゆえ波束の位置の範囲をより確定的になると、波の運動量の広がりは大きくなる。この位置と運動量の広がりの間のトレードオフはハイゼンベルク不確定性原理の一例である。

波束の基本動作[編集]

非分散型[編集]

実空間でのガウシアンによる確率密度は周期的にトンネル効果によってポテンシャル障壁の中心に存在する。

分散を伴わない伝播の例として、古典力学での波動方程式

の解が挙げられる。ここで c は波の伝播速度である。

この波動方程式は平面波 eiωt を用いて

という解を持つ。ここで角周波数 ω は平面波が波動方程式の解となるように

と定義した波数 k を用いて

と表され、この ωk の関係を分散関係と呼ぶ。

簡便化のために一次元での波の伝播を考えると、一般解は ω = kc を取るように

となる。右辺の第一項は x − ct の時刻において波が正の方向にのみ伝播する状態を表し、第二項は x + ct の時刻において波が負の方向にのみ伝播する状態を表す。

波束は波が局所的に撹乱された結果、多くの異なる波形重ね合わせによってできるものである。波束が極端に局在化された場合、干渉により強め合う部分と弱め合う部分ができるため、より多くの周波数が必要となる。一次元での基本解より、一般的な波束は

と表される。

平面波の場合、u(x, t) = F(xct) の間 ω(k) = kc となるように右方向へ移動し、u(x, t) = F(x + ct) の間 ω(k) = −kc となるように右方向へ移動する。

係数 1/2フーリエ変換に由来する。振幅 A(k) には平面波の解の非線型な重ね合わせによる係数が含まれており、これらの係数は t = 0 の時の関数 u(x, t) を逆フーリエ変換することによって導かれ

と表される。

例えば

を取れば

と言う関数が得られ、最終的には

となる。虚部は余弦波に対して垂直な方向に偏在化された正弦波を表す。最初に示したアニメーションは複素数表示での分散を伴わない波束の伝播である。

分散型[編集]

実空間でのガウシアンによる確率密度の一次元の移動は不確かだが、一定の運動量を持っている。

分散を伴った伝播の例としては、シュレーディンガー方程式

の解が挙げられ、分散関係は

となる。

ここでも簡便化のために一次元での波の伝播を考えると、シュレーディンガー方程式の解は初期条件 u(x, 0) = exp(−x2 + ik0x) を満たすように

となる。

分散を伴う波束の伝播による影響は確率密度によって得られ

となる。波が非局在化された速度である一定の群速度 k0 で伝播する場合、波束が分散を伴って伝播することは明白である。なぜなら時刻 1 + 4t2 → 2t に伴ってガウス関数で表される波の広がりが増大し、最終的には無制限に拡散されてしまうためである。

脚注[編集]

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参考文献[編集]

関連項目[編集]

外部リンク[編集]