波束の崩壊

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波束の崩壊(はそくのほうかい)とは、波束を構成するそれぞれの波が異なる速度で進むとき、波束の形が時間とともに次第に崩れていく現象のことをいう。

前期量子論における波束[編集]

ボーア模型における電子のエネルギーの離散性を説明するため、シュレーディンガー波動関数シュレーディンガー方程式を導入した。シュレーディンガーは「シュレディンガー方程式を満たす波動関数が原子のまわりを一周しても波形が変わらないこと」から導いたエネルギーの線スペクトルが、ボーアの量子条件で示されるものと一致することを示し成功を収めた。

ただし粒子である電子と波動関数との対応関係については、シュレーディンガーは「電子は実在する波そのものである」と考えた。重ね合わせにより作られた波束を考えることで、波動関数を粒子描像と対応付けられると考えた。しかしその後ハイゼンベルグによって、シュレーディンガー方程式を満たす波動関数から作った波束は時間とともに崩れていくこと、またシュレディンガーが具体的に示した波動関数は波束が崩れない極めて例外的なケースであることが指摘され、シュレーディンガーの考えは退けられた[1]

その後ボルンによって「波動関数は確率を表す」と考えることで物理量を計算することができることが示され、現在に至っている。

波動関数の導出[編集]

N 個の異なる自由粒子の波を考え、それらを重ね合わせて自由粒子の波束をつくる。この波束が時間変化によって崩壊する様子を示す。

自由粒子のシュレーディンガー方程式

(1)

と表される。粒子 n についての初期値

(2)

とする。これを N 個の自由粒子の重ね合わせで近似すると

(3)

となる。振幅 An (0) を求めると

(4)

となり、初期値 (3) より一般解

(5)

を求める。式(1)に式(5)を代入して整理すると

(6)

となり、係数を比較すると

(7)
(8)

より一般解は

(9)

となる。ここで x0 = 0 とし、実数部のみ考えると

(10)

となり、式(10)に式(4)を代入すると

(11)

となる。

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グラフのひとかたまりの波動は波束を表している。波束が時間経過につれて広がり、崩壊している様子が分かる。

波束の動きをグラフにして見るために、以下の値を代入して図示する。

  • k0 = 5
  • kn を、k0 = 5 のまわりに 2π/L = 0.02 ずつとって決める。
  • a = 2
  • λ = 1.26
  • ħ = 1
  • m = 1
  • L = 300

出典[編集]

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参考文献[編集]

  • 吉田, 伸夫『光の場、電子の海―量子場理論への道新潮社新潮選書〉、2008年10月24日。全国書誌番号:21505331ISBN 978-4-10-603622-4NCID BA87674914OCLC 676605468ASIN 4106036223