自由粒子

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自由粒子 (: free particle) は束縛されていない粒子である。古典力学的には、の影響を受けていない ("field-free") 空間に存在する粒子を意味する(粒子は外力を受けない)。そのため、自由粒子のポテンシャルエネルギーはその位置によらず一定である[1]

古典的自由粒子[編集]

古典力学的な自由粒子は単純に一定の速度によって特徴付けられる。その運動量

であり、そのエネルギー

である。ここで、m は粒子の質量、 v は粒子の速度ベクトルである。

非相対論的量子力学自由粒子[編集]

非相対論的量子力学において、初期状態がである自由粒子のシュレーディンガー方程式は以下のとおりである:

    …(1)
…(2)

である。ここでx=(x1,...,xd)d次元空間Rdの元であり、m>0は質量を表す定数である。物理的には次元dは3とするが、方程式の解法は3以外のdに関しても同様なので、以下dは3とは仮定しない。

解法[編集]

以下、が十分性質の良い関数である事を仮定した上で、(1)、(2)の解を導く。の変数xに関するフーリエ変換を

とすれば、(1)、(2)の両辺をフーリエ変換する事で、

      …(1')
      …(2')

を得る。ここでのフーリエ変換である。

(1')、(2')は容易に解くことができて、

である。これをpに関して逆フーリエ変換して、(1)、(2)の一般解

…(a)

を得るT09:p205。ここで

    ...(b)

積のフーリエ逆変換が畳み込み積に対応している事を利用して(a)のフーリエ逆変換を具体的に計算することで、

…(c)

と書くこともできる。なお、Rd上の可積分関数でない関係で(a)から(c)を直接得ることはできず、代わりにを考えてフーリエ逆変換した上で、ε→0とする必要があるT09:p206

解の厳密な記述[編集]

Rd上の可積分関数であれば、(a)、(c)が成立する事が知られているT09:p206。しかしが量子力学で通常用いられる自乗可積分関数の場合は(a)、(b)の右辺の積分をL2極限に置き換える必要があるT09:p206。すなわち、(a)、(c)の代わりに

 ...(a')
...(b')

が成立する。ここでE(p)は(b)で定義されたものであり、B(0,r)は原点中心の半径r球体であり、L2極限l.i.mは以下のように定義される:

相対論的自由粒子[編集]

相対論的な自由粒子を記述する方程式はさまざまある。自由粒子解の記述についてはそれぞれの記事を参照のこと。

脚注[編集]

  1. ^ A Free Particle

関連項目[編集]

文献[編集]