不変測度

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数学において不変測度(ふへんそくど、: invariant measure)とは、ある函数によって保存される測度のことを言う。エルゴード理論は、力学系における不変測度についての研究である。クリロフ=ボゴリューボフの定理は、函数と考えている空間に関するある条件の下での不変測度の存在を示すものである。

定義[編集]

(X, Σ) を可測空間とし、fX からそれ自身への可測函数とする。(X, Σ) 上のある測度 μf の下で不変であるとは、Σ 内のすべての可測集合 A に対して

\mu \left( f^{-1} (A) \right) = \mu (A)

が成立することを言う。押し出し測度英語版に関して言えば、このことは f(μ) = μ を意味する。

f について不変な X 上の測度(通常は確率測度)の集まりは、しばしば Mf(X) と表記される。エルゴード測度英語版 Ef(X) の集まりは、Mf(X) の部分集合である。さらに、二つの不変測度の任意の凸結合はまた不変であり、したがって Mf(X) は凸集合である。Ef(X) は Mf(X) の極値点で構成される。

(X, Σ) を上述のような可測空間とし、T をあるモノイドφ : T × X → X をあるフロー写像としたときの力学系 (XTφ) を考える。このとき、(X, Σ) 上のある測度 μ不変測度であるとは、各写像 φt : X → X に対してそれが不変であることを言う。より明示的に、μ が不変測度であるための必要十分条件は、

\mu \left( \varphi_{t}^{-1} (A) \right) = \mu (A) \qquad \forall  t \in T, A \in \Sigma

である。また、μ がある(マルコフ連鎖や、確率微分方程式の解であるかも知れない)確率変数 (Zt)t≥0 の列に対する不変測度であるとは、初期条件 Z0 の分布が μ に従っているなら、その後の任意の時間 t に対する Zt の分布もそのようになっていることを言う。

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ある紫の双曲扇形英語版を同じエリアの別のものへと写す圧搾写像英語版に対して、その双曲角英語版は不変に保たれる。青と緑の長方形もまた同じエリアに保たれている
T_{a} (x) = x + a.
このとき、一次元ルベーグ測度 λTa について不変である。
  • より一般に、通常のボレル σ-代数を備える n-次元ユークリッド空間 Rn 上の、n-次元ルベーグ測度 λn は、ユークリッド空間の任意の等長写像について不変である。そのような等長写像 T : RnRn は、次のように記述される:
T(x) = A x + b
ここで A ∈ O(n) はある n × n 直交行列であり、bRn はあるベクトルである。
  • はじめの例における不変測度は、定数因子に関する自明な正規化を除いて一意である。このような場合は必ずしも考えなくてよい。例えば、ちょうど二つの点からなる集合  \boldsymbol{\rm S}=\{A,B\} と、各点をそのまま固定するような恒等写像 T={\rm Id} を考える。このとき、任意の確率測度 \mu : \boldsymbol{\rm S} \rightarrow \boldsymbol{\rm R} は不変である。ここで S には T-不変な成分 {A} および {B} への自明な分解が存在することに注意されたい。
  • ユークリッド平面での面積測度は、行列式が 1 であるような 2 × 2 実行列に対して不変である。そのような行列は、特殊線型群 SL(2,R)英語版 として知られている。

関連項目[編集]

参考文献[編集]