凸結合

数学の凸幾何学（英語版）の分野において、凸結合（とつけつごう、英: convex combination）とは、和が 1 となるような非負係数を持つ点（ベクトルやスカラー、あるいはより一般にアフィン空間の点）の線型結合である。

より正式に、実ベクトル空間に有限個の点 $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\,$ が与えられたとき、それらの凸結合は次の式で表される点である。

\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}

ただし実数 $\alpha _{i}\,$ は $\alpha _{i}\geq 0$ および $\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}=1$ を満たすものである。

特別な一例として、二点の間のすべての凸結合は、それらを結ぶ線分の上に存在する。

すべての凸結合は、与えられた点の凸包の中に含まれる。

線型結合の下で閉じていないが、凸結合の下で閉じているベクトル空間の部分集合が存在する。例えば、区間 $[0,1]$ は凸であるが、線型結合の下では実数直線全体を生成する。また別の例として、線型結合が非負性、アフィン性（積分の総和が 1）のいずれも保存しない確率分布の凸集合が挙げられる。

他の概念[編集]

同様に、確率分布 $Y_{i}$ の凸結合 $X$ は、その成分確率分布の加重和（ $\alpha _{i}$ には上述と同様の制限が課される）であり、次の確率密度函数を備える。

f_{X}(x)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}f_{Y_{i}}(x)