ホッジ理論

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数学におけるホッジ理論(ホッジりろん、: Hodge theory とは、ウィリアム・ホッジ英語版にその名を因む、可微分多様体 M 上の微分形式を研究する一理論である。より精確に述べるならば、ホッジ理論により M 上の実係数コホモロジー群に対する結果を、M 上のリーマン計量に付随する(一般化された)ラプラス作用素に関する偏微分方程式論としてうまく扱うことができる。

1930年代にホッジによってド・ラームコホモロジーの拡張として開発され、3つのレベルで大きな応用を持っている。

最初に研究されたことは、M を閉多様体(つまり、境界を持たないコンパクトな多様体)として取った場合であった。その後、上記の3つのレベルで小平邦彦によって取り上げられ(日本で、さらにプリンストンでヘルマン・ワイルの影響の下で)、他の多くへ非常に大きな影響力を持つ理論となった。

応用と例[編集]

ド・ラームコホモロジー[編集]

ホッジ理論の(ホッジによる)もともとの定式化は、ド・ラーム複体に対するものである。M はコンパクトで向き付け可能な多様体で滑らかな計量 g を持つものとし、Ωk(M)M 上の k-次の微分形式とすれば、微分作用素の成す系列

 0\rightarrow \Omega^0(M) \xrightarrow{d_0} \Omega^1(M)\xrightarrow{d_1} \cdots\xrightarrow{d_{n-1}} \Omega^n(M)\xrightarrow{d_n} 0

はド・ラーム複体と呼ばれる。ここに、dkΩk(M) 上の外微分を表す。このとき、ド・ラームコホモロジーとは

H^k(M)=\ker d_k/\operatorname{im}d_{k-1}

で定義されるベクトル空間の系列のことである。余微分英語版と呼ばれる外微分 d の形式的な随伴 δ を以下のように定義することができる。つまり、〈 , 〉 は計量の誘導する Ωk(M) 上の内積として、任意の α ∈ Ωk(M), β ∈ Ωk+1(M) に対して、

\int_M \langle d\alpha,\beta\rangle_{k+1} \,dV = \int_M\langle\alpha,\delta\beta\rangle_k \,dV

を満足するものとして定めるのである。このとき、微分形式の空間上のラプラシアンΔ = dδ + δd と定義され、調和形式の空間

\mathcal{H}_\Delta^k(M)=\{\alpha\in\Omega^k(M)\mid\Delta\alpha=0\}

が定義できるようになる。d\mathcal H_\Delta^k(M)=0 ゆえ自然な写像 \varphi\colon\mathcal{H}_\Delta^k(M)\to H^k(M) が存在する。ホッジのもともとの定理の最初の部分では、この φ がベクトル空間の同型であることが述べられている。つまり、M 上の各ド・ラームコホモロジー類の代表元として、調和形式が一意的に取れる。

このことから得られるめぼしい帰結は、コンパクト多様体上のド・ラームコホモロジー群が有限次元となることである。これは作用素 Δ が楕円型であり、コンパクト多様体楕円型作用素の核が必ず有限次元ベクトル空間となることから従う。

楕円型複体のホッジ理論[編集]

一般に、ホッジ理論はコンパクト多様体上の任意の楕円型複体に適用できる。

E0, E1, …, EN は、体積形式 dV を持つコンパクト多様体 M の上の、計量を持つベクトル束とし、

L_i\colon \Gamma(E_i)\to \Gamma(E_{i+1})

をこれらベクトル束の切断の空間上に作用する微分作用素として、これらの成す複体

\Gamma(E_0)\to \Gamma(E_1)\to \dotsb \to \Gamma(E_N)

が楕円型であるとする。これらの直和

L=\bigoplus L_i\colon \mathcal{E}^\bullet\to \mathcal{E}^\bullet \quad (\mathcal E^\bullet=\bigoplus \Gamma(E_i))

をとり、L*L の随伴として楕円型作用素 Δ = LL* + L*L を定義すると、ド・ラームコホモロジーのときと同様に、調和切断全体の成すベクトル空間

\mathcal{H} =\{e\in\mathcal E^\bullet\mid\Delta e=0\}

を考えることができる。

ここで、H\colon \mathcal E^\bullet\to \mathcal{H} を直交射影とし、GΔ に対するグリーン作用素とすると、ホッジの定理は以下の事を主張する。

  1. H および G矛盾なく定義される
  2. Id = H + ΔG = H + GΔ.
  3. LG = GL, L*G = GL*.
  4. この複体のコホモロジーは調和切断の空間と自然同型 H(E_j)\cong\mathcal H(E_j) である。これは各コホモロジー類は調和な代表元を一意に持つことを意味する。

ホッジ構造[編集]

前節で(実)ホッジ構造の抽象的な定義が与えられた。実ベクトル空間 W に対し、W 上の整数のウェイト k のホッジ構造は、W複素化英語版である WC = WC の次数付き空間 Wp, q への直和分解である。ここに k = p + q とし、WC複素共役とは Wq, p へと入れ替えることとする。

代数幾何学での基本的なステートメントとして、非特異な複素射影多様体 V の実数係数の特異コホモロジー群は、そのようなホッジ構造を持っていて、 H^k (V) は複素部分空間 Hp, q への要求通りの分解を持っている。ベッチ数の系列として、次元については、

 b_{k} = \dim H^{k} (V) = \sum_{p+q=k} h^{p,q},\,

となる。ここに和は p + q = k となるすべてのペア p, q を渡ることとし、

 h^{p,q} = \dim H^{p,q}.\,

とする。 h^{p,q} をホッジ数と言う。ベッチ数の系列は、ホッジ数ホッジダイアモンドと言い、2次元的に広がっている。

この次数は、最初は、調和形式の理論から来ていて、ホッジラプラス作用素(一般化された調和函数であり、最大原理によりコンパクト多様体上に局所的定数英語版である必要がある)によって選ばれたド・ラームコホモロジーの中の特別な表現である。後日のドルボー(Dolbeault)の仕事により、上記のホッジ分解は層コホモロジーH^{q} (V,\Omega^{p}) に対しても正しいことが示された。ここに Ωp は正則 p-形式のである。この場合には、ラプラス作用素なしで、より直接的な代数的解釈をもたらす。

特異点をある場合や非コンパクトな多様体の場合は、ホッジ構造は混合ホッジ構造へと変形する必要があり、そこでは二重の次数付きの直和分解がフィルトレーション英語版のペアに置き換えられる。例えばモノドロミー問題のように、より広く使われている。

関連項目[編集]

参考文献[編集]