ド・ラームコホモロジー

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閉じてはいるが完全ではない穴あき平面英語版(punctured plane)上の微分形式に対応するベクトル場、この空間のド・ラームコホモロジーが非自明であることを示している。

数学において、ド・ラームコホモロジー: de Rham Cohomology, ジョルジュ・ド・ラーム英語版に因む)とは、代数トポロジー微分トポロジーの双方に属するツールである。コホモロジー類の計算や具体的表現に適用すると、微分可能多様体上の基本的トポロジカルな情報を表わすことができる。ド・ラームコホモロジーは、(多様体の)詳しい性質を反映する微分形式の存在を基としたコホモロジー論である。

定義[編集]

ド・ラーム複体 とは、ある微分可能多様体 M 上の外微分形式コチェイン複体であって、微分として外微分を持っているもののことをいう。

0 \to \Omega^0(M)\ \stackrel{d}{\to}\ \Omega^1(M)\ \stackrel{d}{\to}\ \Omega^2(M)\ \stackrel{d}{\to}\ \Omega^3(M) \to \cdots

ここに Ω0(M) は M 上の滑らかな函数の空間であり、Ω1(M) は 1-形式の空間であり、以下も同様である。外微分による他の形式の像である形式と、\Omega^0(M) の定数関数 0 は、完全 といい、外微分がゼロとなる形式はであるという(閉形式と完全形式を参照)。従って、 d^{2}= 0 という関係式は、完全形式は閉形式であることを意味する。

しかし、逆は一般的には正しくなく、閉形式は必ずしも完全形式ではない。単純であるが重要な例としては、単位円の角度を測る1-形式があり、伝統的に dθ と書く(閉形式と完全形式において記述されている)。微分すると dθ となる円全体で定義されるような実際の函数 θ は存在しない。円を正の方向へ一回回るたびに 2π だけ増えることは、一価関数 θ を取ることができないことを意味する。しかし、ただ一つの点のみを取り除くことによってトポロジー的に変えることができる。

ド・ラームコホモロジーの考え方は、多様体上の閉微分形式を分類することである。この分類は、\Omega^k(M) の中の2つの閉形式 α と β の差が完全形式である、すなわち、\alpha-\beta が完全形式であるときに、α と β はコホモロガスであるということによって行う。この分類は \Omega^k(M) の閉形式の空間の同値関係を引き起こす。従って、kド・ラームコホモロジー群 H^{k}_{\mathrm{dR}}(M) をこの同値類の集合として、つまり、完全形式での差を同一視した \Omega^k(M) の中の閉形式の同値類の集合として定義する:

H^k_\mathrm{dR}(M)=Z^k_\mathrm{dR}(M)/B^k_\mathrm{dR}(M).

ここで、Z^k_\mathrm{dR}(M),\,B^k_\mathrm{dR}(M) はそれぞれ k 次閉形式(コサイクル)全体、k 次完全形式(コバウンダリ)全体である。コホモロジーが消えることは、閉形式と完全形式が一致することを意味する。

n 個の連結成分からなる任意の多様体 M に対し、

H^{0}_{\mathrm{dR}}(M) \cong \mathbf{R}^n.

が成り立つ。これは、微分が 0 である M 上の滑らかな函数(つまり局所定数函数)は M の連結成分の各々の上で定数であるという事実から従う。

ド・ラームコホモロジーの計算[編集]

ゼロコホモロジーとマイヤー・ヴィートリス完全系列に関する上記の事実を用いると、一般的なド・ラームコホモロジーがわかることがよくある。これとは別の有益なことは、ド・ラームコホモロジーはホモトピー不変であるという事実である。計算自体は記載しないが、いくつかの一般的な位相幾何学的な対象に対し、ド・ラームコホモロジーを計算した結果を以下に挙げる。

n 次元球面(n-sphere):

n-次元球面 Sn と開区間との積を考える。n > 0, m ≥ 0 とし、I を実数の開区間とすると、

H_{\mathrm{dR}}^{k}(S^n \times I^m) \simeq \begin{cases} \mathbf{R} & \mbox{if } k = 0,n, \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,n. \end{cases}

が成立する。

n次元トーラス(n-torus):

同様に、n > 0 に対し、次を得る。

H_{\mathrm{dR}}^{k}(T^n) \simeq \mathbf{R}^{n \choose k}.

穴のあいたユークリッド空間:

穴のあいたユークリッド空間とは、単に原点を取り除いたユークリッド空間のことを言う。n > 0 に対し、次が成り立つ。

H_{\mathrm{dR}}^{k}(\mathbf{R}^n - \{0\}) \simeq \begin{cases} \mathbf{R} & \mbox{if } k = 0,n-1 \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,n-1 \end{cases}
\simeq H_{\mathrm{dR}}^{k}(S^{n-1}).

メビウスの帯:

メビウスの帯 M は円周 (1-球面) へ収縮変形英語版することができるという事実から、次が従う。

H_{\mathrm{dR}}^{k}(M) \simeq H_{\mathrm{dR}}^{k}(S^1).

ド・ラームの定理[編集]

ストークスの定理は、ド・ラームコホモロジーと鎖複体ホモロジーとの間の双対の表現である。この定理は、積分を経由して、微分形式と鎖 (chain)のペアリングがド・ラームコホモロジー H^{k}_{\mathrm{dR}}(M) から特異コホモロジー Hk(M; R) への準同型を与えることを意味する。1931年、ジョルジュ・ド・ラーム英語版により証明されたド・ラームの定理は、微分可能多様体 M に対し、この写像が実は同型であるというものである。

更に詳しくは、次のように定義された写像 I: H_{dR}^p(M) \rightarrow H^p(M; \mathbb{R}) を考える。任意の [\omega] \in H_{dR}^p(M) に対し、I(\omega) を、[c] \in H_p(M)\int_c \omega に写す \operatorname{Hom}(H_p(M; \mathbb{R}), \mathbb{R}) \simeq H^p(M; \mathbb{R}) の元とすると、ド・ラームの定理は、この写像がド・ラームコホモロジーと特異コホモロジーの間の同型を与えると言っている。

ウェッジ積はこれらの群の直和の構造与える。特異コホモロジーにも同様にカップ積で積が定まるが、この定理はさらに、2つのコホモロジー環は(次数付き環として)同型となることを言っている。

層係数ド・ラームコホモロジー同型[編集]

ド・ラームコホモロジーは、チェックコホモロジー英語版 H*(U, F) と同型である。ここに F は次のようにして決定されるアーベル群とする。M の全ての連結な開集合 U に対して F(U) = R となり、UV となる開集合 UV に対し群の射 resV,U : F(V) → F(U) は R の恒等写像で与えられ、ここに UM の良い開被覆である(すなわち 開被覆 U の中の任意の開集合は、一つの点へ可縮であり、U の任意の有限個の集合の交叉は空集合であるかまたは一つの点へ可縮である)。

他の言い方をすると、M が次元 m のコンパクトなCm+1の多様体であれば、各々の km に対し、次の同型が存在する。

H^k_{\mathrm{dR}}(M)\cong \check{H}^k(M,\mathbf{R})

ここに、左辺は k 次ド・ラームコホモロジー群であり、右辺はファイバー R を持つ定数層英語版のチェックコホモロジーである。

証明[編集]

ΩkM 上の k-形式の芽の層を表すとする(Ω0M の上の Cm + 1 級函数を表すとする)。ポアンカレの補題によって、次の層の系列は(層のにおいて)完全系列となる

0 \to \mathbf{R} \to \Omega^0 \,\xrightarrow{d}\, \Omega^1 \,\xrightarrow{d}\, \Omega^2\,\xrightarrow{d} \dots \xrightarrow{d}\, \Omega^m \to 0.

ここで、上記の系列は短完全列へと分解する。

0 \to d\Omega^{k-1} \,\xrightarrow{\mathrm{incl}}\, \Omega^k \,\xrightarrow{d}\, d\Omega^k\to 0.

これらの各々の短完全系列は、コホモロジーの長完全系列を引き起こす。

多様体上の Cm + 1 級函数の層は1の分割を持っているので、層係数コホモロジー Hik) は i > 0 に対してゼロとなる。従って、コホモロジーの長完全系列自体は、結局同型の鎖へと分解する。鎖の一端はチェックコホモロジーであり、反対の端はド・ラームコホモロジーである。

関連するアイデア[編集]

ド・ラームコホモロジーは、ドルボーコホモロジーホッジ理論アティヤ・シンガーの指数定理など、多くの数学的なアイデアを呼び起こした。 ホッジ理論は、調和形式からなるコホモロジーと完全形式の差を同一視した閉形式からなるド・ラームコホモロジーの間に同型があることを証明した。このことは、調和形式ホッジの定理の適切な定義に依存している。さらに詳しいことはホッジ理論を参照。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

外部リンク[編集]