ポアンカレの補題

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数学において、ポアンカレの補題(ぽあんかれのほだい、Poincaré's lemma)とは代数的位相幾何における定理の一つ。ユークリッド空間において、閉形式の微分形式が完全形式となることを主張する。

概要[編集]

導入[編集]

多様体上の k次微分形式 ωに対し、外微分 d を施したとき、


d\omega=0 \,

が成り立つとき、ω は閉形式(closed form)であるという。 また、k次微分形式ωに対し、k-1次微分形式 η で


\omega=d\eta \,

を満たすものが存在するとき、ω は完全形式(exact form)であるという。

外微分の性質


d \circ d=0 \,

より、完全形式が閉形式であることは常に成り立つが、閉形式が完全形式になるかは、多様体の幾何学的性質によって異なる。

ポアンカレの補題は『ユークリッド空間 Rn (より一般的には可縮な多様体M)において、閉形式が完全形式となること』を主張する。

定理の主張[編集]

k >0とし、k次微分形式ω∈Ak(Rn)が


d\omega=0 \,

を満たすとする。 このとき、k-1次微分形式η∈Ak-1(Rn)が存在して、


\omega=d\eta \,

が成り立つ。

ド・ラーム・コホモロジーによる表現[編集]

ド・ラーム・コホモロジーの概念を用いれば、ポアンカレの補題は次のように表現できる。


H^k(\mathbb{R}^n) = 
\left\{\begin{matrix} \mathbb{R} & (k=0)\\
 0 & (k>0)
\end{matrix}\right.

但し、多様体M に対し、Hk(M )は商ベクトル空間


H^k(M) =Z^k(M)/B^k(M) \,

で定義されるk次のド・ラーム・コホモロジー群であり、Zk(M )は


Z^k(M)=\mathrm{ker}\, d \cap A^k(M) \,

で定義される閉形式のk次微分形式全体、Bk(M )は


B^k(M)=\mathrm{im}\,d \cap A^k(M) \,

で定義される完全形式のk次微分形式全体である。

k =0の場合は、単にdf (x )≡0ならば、f が定数関数となることを述べており、k >0の場合が前述の定理と等価な表現となる。すなわち、閉形式(Z k(Rn)の元)が完全形式(B k(Rn)の元)になることを表している。

拡張[編集]

より一般的には可縮な多様体Mについて、次が成り立つ。


H^k(M) = 
\left\{\begin{matrix} \mathbb{R} & (k=0)\\
 0 & (k>0)
\end{matrix}\right.

具体例[編集]

例えばR2上で定義される1次微分形式


\omega_1=xy^2 dx + x^2y dy \,

は、外微分を考えると


d\omega_1=2xydy \wedge dx + 2xydx \wedge dy=0

となり、閉形式である。したがって、ポアンカレの補題より完全形式となる。実際、R2上の0次微分形式


\eta_1=\frac{1}{2}x^2y^2 \,

について、


d\eta_1=xy^2 dx + x^2y dy =\omega_1 \,

が成り立つから、ω1は完全形式である。

一方、R2から原点を除いた領域R2\(0,0)で定義される1次微分形式


\omega_2=\frac{-y}{x^2 + y^2 }dx + \frac{x}{x^2 + y^2 } dy

は、外微分を考えると


d\omega_2=0 \,

が成り立つから、ω2は閉形式である。しかしながら、考える領域はポアンカレの補題の条件を満たしておらず、ω2は完全形式であることは保証されない。実際、R2からx軸を除いた領域R2\{x=0}で定義される0次微分形式


\eta_2=\arctan{\frac{y}{x}}

について、


d\eta_2=\frac{-y}{x^2 + y^2 }dx + \frac{x}{x^2 + y^2 } dy

であり、局所的にはω2と一致するが、η2R2\(0,0)では定義されず、ω2は完全形式ではない。

ベクトル解析との関係[編集]

ベクトル解析における、スカラーポテンシャルベクトルポテンシャルの存在条件は、ポアンカレの補題の特別な場合に相当する。

スカラ-ポテンシャルの存在[編集]

R3全体で定義された3次元のベクトル場 Fにおいて、その回転rot


\mathrm{rot}\,\mathbf{F}=\mathbf{0}

を満たすならば、


\mathbf{F}= \mathrm{grad}\, \psi

の関係を満たすR3上のスカラ-ポテンシャルψが存在する。 この場合、 F=(F1, F2, F3)は1次微分形式


\omega = F_1 dx +  F_2 dy + F_3 dz \,

に対応し、ψは0次微分形式ηに対応している。また、回転rotの作用は、1次微分形式に対する外微分に相当する。なお、ベクトル場の領域の条件としては、R3全体以外にも、単連結な領域をとることができる。

ベクトルポテンシャルの存在[編集]

同様に、R3全体で定義された3次元のベクトル場 Gにおいて、その発散div


\mathrm{div}\,\mathbf{G}=0

を満たすならば、


\mathbf{G}= \mathrm{rot}\, \mathbf{A}

の関係を満たすR3上のベクトルポテンシャルAが存在する。 この場合、 G=(G1, G2, G3)は2次微分形式


\omega = G_1 dy \wedge dz +  G_2 dz \wedge dx + G_3 dx \wedge dy \,

に対応し、A=(A1, A2, A3)は1次微分形式


\eta = A_1 dx +  A_2 dy + A_3 dz \,

に対応している。また、発散divの作用は、2次微分形式に対する外微分に相当する。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  • Raoul Bott and Loring W. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, Springer(1995), ISBN 978-0387906133、三村 護 (翻訳)『微分形式と代数トポロジー』シュプリンガー・フェアラーク東京(1996年)、ISBN 978-4431707073