$p$ を5以上の素数とすると $p^{2}-1$ は必ず24の倍数である事の証明[編集]

6n　：6の倍数

6n±2=2(3n±1)　：2の倍数

6n±3=3(2n±1)　：3の倍数

6n±4=2(3n±2)　：2の倍数

6n\pm 5=6(n\pm 1)\mp 1=6m\mp 1

　(∵

m=n\pm 1

∴6n±1で表すことのできる整数が素数の含まれる可能性の残っている候補である

先に、6n+1の整数について、

(6n+1)^{2}=36n^{2}+12n+1

=12n(3n+1)+1

ここで、nの偶奇による場合分けを行う。

nが偶数のとき、

n(3n+1)は偶数nと整数の積になるので、偶数。

nが奇数のとき、

n(3n+1)は整数nと、奇数(3n)に1を加えた偶数との積になるので、偶数。

∴12n(3n+1)は12に偶数を掛け合わせたものなので、24の倍数である。

次に、6n-1の整数についても考える。

(6n-1)^{2}=36n^{2}-12n+1

から導かれる12n(3n-1)についても上記同様24の倍数と表せる。

また、n=1のとき12n(3n-1)=24

∴12n(3n±1)は24の倍数である。

ここで、q=6n±1とおき

q^{2}=(6n\pm 1)^{2}

=12n(3n\pm 1)+1

から、

q^{2}-1=12n(3n\pm 1)

この右辺は先に証明した通り24の倍数である。

5以上の素数pは、

6n\pm 1(n\geqq 1)

の範囲に限られるので、

p^{2}-1=12n(3n\pm 1)\quad (p\geqq 5)

∴ p を5以上の素数とすると

p^{2}-1

は必ず24の倍数である//

補：6とは、最初の素数2つの積 3×2（素数階乗）であり、条件付けられた24の倍数をかわすのに十分な理由として扱える値である。

「基本的な計算のリスト」の記載について[編集]

「基本的な計算のリスト」節の記載の必要性につきまして、プロジェクト‐ノート:数学/数#「基本的な計算のリスト」についてにて皆様のご意見をうかがいたく、コメント依頼を提出しております。--みそがい（会話） 2019年11月20日 (水) 13:56 (UTC)[返信]