ダランベール演算子

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ダランベール演算子 (ダランベールえんざんし、: d'Alembert operator) とは、物理学特殊相対性理論電磁気学波動論で用いられる演算子作用素)であり、ラプラス演算子ミンコフスキー空間に適用したものである。ダランベール作用素ダランベルシアン (d'Alembertian ) あるいは wave operator(波動演算子)と呼ばれることもあり、一般に四角い箱のような記号 □ ([注釈 1]) で表される。この名称はフランスの数学者・物理学者ジャン・ル・ロン・ダランベール (Jean Le Rond d'Alembert) の名に由来する。

定義[編集]

標準座標系 (ct, x, y, z) で表されるミンコフスキー空間において、ダランベール演算子は次の形で定義される。

ここで ミンコフスキー計量 である。すなわち、, , その他 については の値をとる。μνアインシュタインの縮約記法にしたがう総和のための添字であり、0, 1, 2, 3 のいずれかの値をとる。また、2 = Δ はラプラス演算子である。

文献によっては負の計量符号数 [− + + +] すなわち を用いている場合もある。この場合、符号を反転させて

とする。また、光速度 c1 とするような単位系を用いる場合も多く、その場合は、

という置き換えをする。さらに波動方程式などにおいて、光速度 c の部分を一般の波の伝播速度 s などに置き換える場合もある。

ローレンツ変換はミンコフスキー計量を不変に保つ。ゆえに、ダランベール演算子はローレンツスカラー英語版である。したがって、先に用いた座標表現は、あらゆる慣性系における標準座標に対し有効である。

別の記法[編集]

ダランベール演算子の記法は複数存在している。最も一般的なのは、記号 を用いた表記である。箱形の四つ角が時空の四次元を表している。 として、自乗項によるスカラー的特性(スカラー積)を強調することもある(ラプラス演算子Δ でなく 2 で表現する場合に似ている)。この記号はナブラ記号 (∇; nabla) の四 (quadri-) 次元版として quabla と呼ばれることもある。ラプラス演算子の三角形記法にならって ΔM が用いられることもある。

平らな標準座標におけるダランベール演算子を記述するもう一つの方法として、 を用いたものがある。この記法は場の量子論で広く用いられている。場の量子論では、多くの場合偏微分記号に添字が付されている。二乗の偏微分記号において添字が無い場合、それはダランベール演算子の存在を伝えている。

記号 は、四次元におけるレヴィ=チヴィタの共変微分を表すのに用いられることもある。この場合、記号 は空間微分を表すのに用いられるが座標チャートに依存する。

応用[編集]

通常の波動方程式

小規模な振動に関する波動方程式は、ダランベール演算子を用いて、次のように表される。

ここで u(x, t)変位であり、s は伝播の速度を表す。

電磁場の波動方程式

真空における電磁場の伝播を記述する波動方程式は、ダランベール演算子を用いて、次のように表される。

ここで Aμベクトルポテンシャル である。

クライン–ゴルドン方程式

ダランベール演算子を用いて、クライン–ゴルドン方程式は次のように書き表せる。

ここで、μ

で定義される定数である。

グリーン関数[編集]

ダランベール演算子に関するグリーン関数 G(xx′) は、次の方程式を満たすものとして定義される。

ここで δ(4)(xx′) はミンコフスキー空間でのディラックのデルタ関数であり、x = (ct, x)x′ = (ct′, x′) はミンコフスキー空間における2つの点である。

上式を満たすグリーン関数として、遅延グリーン関数

並びに、先進グリーン関数

をとることができる。但し、

であるものとする。

遅延グリーン関数 Dret は、

以外では 0 の値を、先進グリーン関数 Dadv は、

以外では 0 の値をとる性質を有する。

関連項目[編集]

注釈[編集]

  1. ^ Unicode: U+29E0. SQUARE WITH CONTOURED OUTLINE (縁取り付き四角形) [その他の数学記号B]

参考文献[編集]

外部リンク[編集]