数演算子

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量子力学において数演算子(すうえんざんし)、個数演算子(こすうえんざんし)あるいは粒子数演算子(りゅうしすうえんざんし、: particle number operator)とは、全粒子数が保存されないような系での粒子数を表すオブザーバブルである。

定義[編集]

生成消滅演算子を以下の交換関係を満たす演算子として定義する。

数演算子は以下のように定義される。

性質[編集]

エルミート性[編集]

数演算子はエルミート演算子である。

生成消滅演算子との交換関係[編集]

数演算子と生成消滅演算子との交換関係は以下のようになる。これは、数演算子の固有値を増減させる昇降演算子の定義でもある。

固有値は非負[編集]

数演算子の固有値方程式は、

この固有値は非負である。

固有ベクトルへの消滅演算子の作用[編集]

数演算子の固有ベクトルに消滅演算子が作用すると、

固有値は整数[編集]

数演算子の固有値は整数である。

よって数演算子の固有値は非負の整数である。

固有ベクトルへの生成演算子の作用[編集]

固有ベクトルに生成演算子が作用すると、

となる。真空状態に生成演算子N回作用させた場合は、

よって、

n粒子状態[編集]

数演算子はフォック空間で作用する。与えられているフォック状態 ν は1粒子基底状態 i から成る。

ここで数演算子を生成消滅演算子 ^a(φi), ^a(φi) を用いて以下のように定義する。

数演算子は以下の性質を持つ。

ここで Ni は状態 |ψi の粒子の数である。

参考文献[編集]

関連項目[編集]