分散関係

分散関係（ぶんさんかんけい、英: dispersion relation）は、波において、角周波数（角振動数）と波数の間の関係。特に角周波数 ω を波数 k の関数で表した式のことを言う。

概要

フーリエ変換により、波動は特定の波数 k のみをもつ、単色波 e^{i(kx -ω t )} の集まりに分解することができる。このとき、波数 k と角周波数 ω が、系の性質に応じて満たす関係

$\omega =\omega (k)\,$

を、分散関係、または分散式という。波数と角周波数の対応関係が複数存在する場合もあり、それぞれの関係を波のモードと呼ぶことがある。

特に、波数と角周波数が比例関係

$\omega =vk\,$

で表されるときに、分散がないという。また、波数と角周波数が比例関係にない場合、系は分散的もしくは分散系であるという。分散がない波においては、

$e^{i(kx-\omega t)}=e^{ik(x-vt)}\,$

となり、各単色波の成分は波数に依らず、一定速度 v で進むため、波形が崩れず、そのまま伝播する。

分散関係が与えられると、波動の性質を示すいくつかの重要な指標を導くことができる。波の位相部分が一定 kx - ω t =φ_o で伝わる速度 v_p は、これを時間で微分して、

$v_{p}={\frac {dx}{dt}}={\frac {\omega }{k}}$

で与えられる。これを位相速度という。また、一方で様々な波数を持つ波の集まりである波束において、その群速度は、

$v_{g}={\frac {d\omega (k)}{dk}}$

で与えられる。

分散がない場合には、

$v_{p}=v,\quad v_{g}=v\,$

であるから、「分散がない」という条件は「位相速度と群速度が一致する」ことと等価である。

通常の波動方程式

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$

に従う波動現象においては、 e^{i(kx -ω t )}を考えると、

$\omega =ck\,$

の関係が満たされており、分散がない波となる。

光学における分散

自然光などの白色光をプリズムに通すと、透過した光は虹のように各色ごとに分光される。この現象は光学においては分散と呼ばれる。これは、白色光が角振動数の異なる電磁場から構成されており、媒質となるプリズム中においてそれぞれの屈折率n が角振動数ωによって異なることに起因する。このとき、媒質中を伝播する電磁波の位相速度は屈折率 n (ω)と真空中の光速度c を用いて、

$c(\omega )={\frac {c}{n(\omega )}}\,$

と表される。このとき、対応する分散関係は

$\omega =c(\omega )k\,$

となる。分散関係という語は、光学におけるこの分散現象に由来する。

例

水面波

深さがh である水の層において、重力と表面張力を考慮した水面波の分散関係は以下を満たす。

$\omega =|k|{\sqrt {{\biggl (}{\frac {g}{k}}+{\frac {\sigma k}{\rho }}{\biggr )}\tanh {kh}}}$

ここで、g は重力加速度、σは表面張力、ρは水の密度である。

フォノン

固体におけるフォノンのモデルとして、2種類の原子から構成される一次元の格子の振動を考える。このとき、この格子系の周期を2a とし、2つの原子の質量をm₁、m₂、結合の定数をf とすると、分散関係は

$\omega ^{2}={\frac {f}{m_{\mu }}}\left(1\pm {\sqrt {1-{\frac {4m_{\mu }^{\,2}}{m_{1}m_{2}}}\sin ^{2}{ka}}}\right),\quad {\frac {1}{m_{\mu }}}={\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}$

となる。符号が - の場合が音響モードに対応し、+ の場合が光学モードに相当する。特に|q |→0としたときの長波長極限では、音響モードでは、

$\omega ={\sqrt {\frac {2f}{m_{1}+m_{2}}}}a|k|$

光学モードでは

$\omega ={\sqrt {\frac {2f}{m_{\mu }}}}={\sqrt {\frac {2(m_{1}+m_{2})f}{m_{1}m_{2}}}}$

となる。

相対論的な電子

相対論な場の量子論において、電子はディラック方程式で記述される。このとき、電子は以下の分散関係を満たす。

$\omega ={\sqrt {(ck)^{2}+{\biggl (}{\frac {mc^{2}}{\hbar }}{\biggr )}^{2}}}$

ここで、m は電子の質量、c は光速度である。

関連項目

• 波動 - 位相速度、群速度、分散