指数関数

指数関数（しすうかんすう、exponential function）とは、冪乗における指数を変数として、その定義域を主に実数の全体へ拡張して定義される初等超越関数の一種のこと。対数関数の逆関数であるため、逆対数と呼ばれることもある^[1]。

定義

正の実数 a を底とする指数関数 $a^{x}\,$ は、次の公理から一意に定まる関数として定義される。

$a^{x}\,$ は、R から (0, ∞) への連続関数
$a^{1}=a\,$
$a^{p+q}=a^{p}a^{q}\,$

指数関数の値 a^p において、指数 p が自然数（あるいは有理数）であるとき、これは a の冪乗に一致する。冪乗を適当な方法を用いて拡張することにより、指数関数を定義することも可能である。

微分

底がネイピア数 e である指数関数 e^x の導関数は、e^x 自身となる。e^x を exp x と書いたりもする。任意の指数関数 a^x は自然対数 ln を用いて、exp(ln(a)x) と表現できる。したがって、一般の指数関数 a^x の導関数は (ln a)a^x となる。

exp(x) は、微分方程式 dy/dx = y の特殊解に他ならない。これは逆に、微分方程式 dy/dx = y の y(0) = 1 を満たす初期値問題の解として指数関数を定義することができることをも意味している。

解析学の分野では、指数関数といえば、主に底がネイピア数であるもののみを指す。

一般化

複素変数への拡張

exp x の微分性質より、これをマクローリン展開すると、

\exp x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}

となることから、定義域を、任意の実数から、複素数全体へと拡張することが出来る。 exp(ix) を、cis x と書き、複素指数関数と呼ぶ。ここで i は虚数単位である。 exp x のマクローリン展開より、

{\rm {cis}}\ x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}+i\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}

と書けるが、右辺の第 1 項は cos x のマクローリン展開、第 2 項は sin x のマクローリン展開に i を乗じたものに他ならない。即ち、cis x = cos x + isin x。複素指数関数は、三角関数に関する和として表現できるのである。任意の複素数 z は、z = x+iy (x,y∈R) と表現できるから、