対称行列

対称行列（たいしょうぎょうれつ、英: symmetric matrix）とは、正方行列 A のうち、その転置行列 A^T が A 自身と一致するものを言う（ $A=A^{\mathrm {T} }$ を満たす）。

たとえば下記の例は対称行列である。

A={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&6\\\end{pmatrix}}

定義

n 次正方行列 A = (a_ij)_1≤i,j≤n が対称あるいは転置対称であるとは

(a_{ij})=A=A^{\mathrm {T} }=(a_{ji})\iff a_{ij}=a_{ji}{\mbox{ for any }}1\leq i,j\leq n

が成り立つことである。

性質

実対称行列の固有値は全て実数である。
正値^[1]実対称行列（対応する二次形式が正定値）の固有値は全て正の実数である。
同じ型の対称行列の和、スカラー倍はまた対称行列である。したがって、同じ型の対称行列の全体は加群（ベクトル空間）をなす。n 次の対称行列のなす加群を Sym(n)、あるいは係数環が R であればそれを明示して、Sym(n; R), Sym_n(R) などとあらわす。
実対称行列はある直交行列により対角化可能である。
n 次の実対称行列 A と n 次元ユークリッド空間 Rⁿ の標準内積（ユークリッド内積） (·, ·) に関して (x, Ay) = (Ax, y) (for all x, y ∈ Rⁿ) が成り立つ。すなわち、実対称行列はユークリッド内積に関して自己共役な作用素である。

二次形式

n 個の変数 x₁, x₂, ..., x_n に関する二次形式（斉二次の多項式）は、対称行列 A により

\mathbf {x} ^{\rm {T}}A\mathbf {x} =(\mathbf {x} ,A\mathbf {x} )=\sum _{1\leq i,j\leq n}a_{ij}x_{i}x_{j}

のかたちで表すことができる。これを A に対応する二次形式といい、A をこの二次形式の係数行列とよぶ。また、この二次形式をジーゲルの記号 (Siegel's symbol) を使って A[x] と表す。

実対称行列 A に対応する二次形式の符号 (p, q)を A の符号（signature）または符号数という。Aの階数が r のとき p + q = r である。符号 (p, q)は A によって一意的に決まるという事実をシルベスターの慣性法則という。

正値対称行列

Rⁿ の任意のベクトル xに対し A[x] ≥ 0 であるとき A は非負値（または半正値）であるといい A ≥ 0 で表す。任意のベクトル xに対し A[x] ≤ 0 であるとき A は非正値（または半負値）であるといい A ≤ 0 で表す。 A[x] = 0 となるのは x = 0 のときに限るとき、A （および対応する二次形式）は非退化であるという。半正値かつ非退化な A は正値（または正定値）であるといい A > 0 で表す。半負値かつ非退化な A は負値（あるいは負定値）であるといい A < 0 で表す。A[x] が x の値によって正にも負にもなるとき A は不定値であるという。

これらの性質は A の符号 (p, q) により

Aが非負値 $\iff$ q = 0
Aが正値 $\iff$ p = n, q = 0
Aが負値 $\iff$ p = 0, q = n
Aが不定値 $\iff$ p > 0, q > 0

とも表せる。

正値対称行列の例

統計・確率における分散共分散行列は正値対称行列である。
任意の正則行列 A に対し、A^T A は正値対称行列である。

半正値対称行列の例

任意の正方行列 A に対し、A^T A は半正値対称行列である。
グラフ理論におけるグラフのラプラス行列（グラフのラプラシアン）(Laplacian matrix) は半正値対称行列行列である。

その他の例

単位行列、対角行列は対称行列である。

E=E^{\mathrm {T} }={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}

S=S^{\mathrm {T} }={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-2&0\\0&0&{\frac {1}{3}}\\\end{pmatrix}}

グラフ理論におけるグラフの隣接行列は対称行列である。

脚注

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^ positive definite の訳語として「正定値」もしくは「正値」がある。

参考文献

外部リンク

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[1] sitive definite の訳語として「正定値」もしくは「正値」がある。

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