ピタゴラス音律

ピタゴラス音律は、3:2の周波数比の関係にある音程（完全五度）を基に作られる音律である。ピタゴラスが発案したという伝説により、この名がある。

概要

ピタゴラス音律は3:2の比率にある音程（完全五度）を積み重ねることに基づいている。例としてDを起点に、上に6回、下に5回、3:2の周波数比の音を得ることを繰り返すと以下のようになる。

E♭ - B♭ - F - C - G - D - A - E - B - F# - C# - G#

得られた11個の音は実際には広い音域に渡っているが、オクターヴ関係にある音には同じ音名が与えられることから、絶対音高を移し変えて、これらを1オクターヴの範囲内にまとめることができる。

この作業を更に拡張しようとすると問題が浮上する。即ち3/2の冪乗は2/1の冪乗と一致することはないため、この操作を何回繰り返しても互いにオクターヴ関係にある音は得られない。下方に延長した場合以下のようになる。

A♭ - E♭ - B♭ - F - C - G - D - A - E - B - F# - C# - G#

平均律においてはA♭とG♯のような異名同音は実際に全く同じ音であるが、このA♭とG♯には約23.46セント≒1/4半音の差が生じる。この差をピタゴラスコンマと呼ぶ。

したがって、半音階を構成するにあたり、A♭を省いてE♭からG♯までの12音を用いると、G♯からE♭への五度音程は、3:2の比率による純正な完全五度（約701.96セント）よりピタゴラスコンマ分狭い音程（約678.49セント）になる。この音程の外れた五度による和音は、顕著なうなりを生じるため、狼の吠声に例えてウルフの五度(en:Wolf interval)と呼ばれる。

どの音を起点にするか、上下にどの様に完全五度を積み重ねるかは自由である。したがってウルフの五度の位置は自由に決められる。しかしいずれかの五度にウルフが住むため、ピタゴラス音律では演奏可能な調は制限される。

音名	Dからの音程	計算式	比率	大きさ (セント)	平均律との差 (セント)
A♭	減五度	$\left({\frac {2}{3}}\right)^{6}\times 2^{4}$	${\frac {1024}{729}}$	588.27	-11.73
E♭	短二度	$\left({\frac {2}{3}}\right)^{5}\times 2^{3}$	${\frac {256}{243}}$	90.22	-9.78
B♭	短六度	$\left({\frac {2}{3}}\right)^{4}\times 2^{3}$	${\frac {128}{81}}$	792.18	-7.82
F	短三度	$\left({\frac {2}{3}}\right)^{3}\times 2^{2}$	${\frac {32}{27}}$	294.13	-5.87
C	短七度	$\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}\times 2^{2}$	${\frac {16}{9}}$	996.09	-3.91
G	完全四度	${\frac {2}{3}}\times 2$	${\frac {4}{3}}$	498.04	-1.96
D	一度	${\frac {1}{1}}$	${\frac {1}{1}}$	0 .00	0.00
A	完全五度	${\frac {3}{2}}$	${\frac {3}{2}}$	701.96	1.96
E	長二度	$\left({\frac {3}{2}}\right)^{2}\times {\frac {1}{2}}$	${\frac {9}{8}}$	203.91	3.91
B	長六度	$\left({\frac {3}{2}}\right)^{3}\times {\frac {1}{2}}$	${\frac {27}{16}}$	905.87	5.87
F♯	長三度	$\left({\frac {3}{2}}\right)^{4}\times \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}$	${\frac {81}{64}}$	407.82	7.82
C♯	長七度	$\left({\frac {3}{2}}\right)^{5}\times \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}$	${\frac {243}{128}}$	1109.78	9.78
G♯	増四度	$\left({\frac {3}{2}}\right)^{6}\times \left({\frac {1}{2}}\right)^{3}$	${\frac {729}{512}}$	611.73	11.73

上記の音律でハ長調の音階を構成すれば以下のようになる。

音名	C		D		E		F		G		A		B		C
比率	1/1		9/8		81/64		4/3		3/2		27/16		243/128		2/1
間隔	-	9/8		9/8		256/243		9/8		9/8		9/8		256/243		-

音程の大きさ

Dを起点としたピタゴラス音律の各音程の周波数比率。音程名は英語の略称（例：完全五度→P5）。純正音程は太字で記し、ウルフの音程は赤でハイライトしている。

Dを起点としたピタゴラス音律の各音程のセント値の概数。音程名は英語の略称（例：完全五度→P5）。純正音程は太字で記し、ウルフの音程は赤でハイライトしている。

ピタゴラス音律ではユニゾンとオクターヴを除く音程は2種類の異なる大きさを持つ。表に上記の12の音からの各音程の周波数比率とおおよそのセント値を示す。

その定義上、ピタゴラス音律の11の完全五度は3:2すなわち約701.955セントである。五度圏を閉じるためには、平均律がそうであるように、12の完全五度の平均値は700セントであることが要求されるため、残る1つは約678.495セントになる(ウルフの五度）。このウルフの五度は異名同音による五度であるため、より正確には減六度であることに注意。

9つの短三度は約294.135セントで、他の3つは増二度で約317.595セント、その平均値は300セント。
8つの長三度は約407.820セントで、他の4つは減四度で約384.360セント、その平均値は400セント。
7つの全音階的半音(短二度)は約90.225セントで、他の5つは半音階的半音(増一度)で約113.685セント、その平均値は100セント。

つまりピタゴラス音律では、異名同音的音程にはピタゴラスコンマ(約23.46セント)分の差が存在する。

またピタゴラス音律では純正な長三度(5:4≒386.31セント)は得られないが、4つの減四度が純正な長三度と僅差になる。これはピタゴラス音律の長三度と純正な長三度の差であるシントニックコンマ(約21.51セント)とピタゴラスコンマ(約23.46セント)の値がごく近いことによる結果である。

参考文献

Barbour, J. Murray, 1933. "The Persistence of the Pythagorean Tuning System," Scripta Mathematica 1:286-304.

概要

音程の大きさ

参考文献

関連項目