ド・ジッター空間

数学や物理学において、ド・ジッター空間 (de Sitter space) は、通常のユークリッド空間の球面の、ミンコフスキー空間あるいは時空における類似物である。n 次元ド・ジッター空間は dS_n と書き、（標準のリーマン計量を持つ）n 次元球面のローレンツ多様体での類似である。この空間は、最大の対称性を持ち、正の定曲率を持ち、3 以上の n に対し、単連結である。ド・ジッター空間は反ド・ジッター空間と同様に、ライデン大学の天文学の教授で、ライデン天文台の天文台長であったウィレム・ド・ジッター (Willem de Sitter) (1872–1934) の名前に因んでいる。ウィレム・ド・ジッターとアルバート・アインシュタイン (Albert Einstein) は、1920年代にライデンで、宇宙の時空の構造について研究を共にした。

一般相対論のことばでは、ド・ジッター空間は最大対称性を持ち、（正の真空エネルギー密度と負の圧力に対応する）正（反発力）の宇宙定数 $\Lambda$ を持つアインシュタイン場の方程式の真空解(vacuum solution)である。n = 4（ 3つの空間次元と 1つの時間次元）では、ド・ジッター空間は物理的な宇宙の天文学的なモデルである。ド・ジッター宇宙(de Sitter universe)を参照。

ド・ジッター空間はウィレム・ド・ジッターにより、また同時に、独立してトゥーリオ・レヴィ＝チヴィタ (Tullio Levi-Civita) により発見された。

さらに最近は、ド・ジッター空間がミンコフスキー空間を使うというよりも、特殊相対論の設定として考えられるようになった。その理由は、群縮約(group contraction)は、ド・ジッター空間の等長変換群をポアンカレ群へと還元し、凖単純群(semi-simple group)というよりも単純群の中へ、時空変換部分群やポアンカレ群のローレンツ変換部分群を統一することを可能とする。この特殊相対論の定式化をド・ジッター相対性(de Sitter relativity)と呼ぶ。

定義

ド・ジッター空間は 1以上の次元のミンコフスキー空間の部分多様体として定義することができる。標準的な計量

$ds^{2}=-dx_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}dx_{i}^{2}$

を持つミンコフスキー空間 R^1,n をとると、ド・ジッター空間は一枚のシート

$-x_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}=\alpha ^{2}$

の双曲面により記述される部分多様体である。ここに $\alpha$ はある長さの次元を持つ正の定数である。ド・ジッター空間上の計量は、周囲の空間の計量から導かれる。導かれた計量はローレンツ符号を持ち非退化である。（上の定義に加えて、$\alpha ^{2}$ を $-\alpha ^{2}$ と置き換えると、2枚のシートの双曲面を得る。この場合の導かれた計量は正定値であり、それぞれのシートは n-次元双曲空間のコピーである。

ド・ジッター空間は、2つの不定値直交群(indefinite orthogonal group)の商空間 O(1,n)/O(1,n−1) としても定義される。このことは、この空間が非リーマン的な対称空間(symmetric space)であることを示している。

トポロジーとして、ド・ジッター空間は R × Sⁿ⁻¹ である（従って、n ≥ 3 であれば、ド・ジッター空間は単連結である。

性質

ド・ジッター空間の等長変換群(isometry group)は、ローレンツ群 O(1,n) である。従って、計量は n(n+1)/2 個の独立なキリングベクトルを持ち、最大対称である。すべての最大対称空間は定曲率を持つ。ド・ジッター空間のリーマン曲率テンソルは、

$R_{\rho \sigma \mu \nu }={1 \over \alpha ^{2}}(g_{\rho \mu }g_{\sigma \nu }-g_{\rho \nu }g_{\sigma \mu })$

により与えられる。

リッチテンソルは計量に比例する

$R_{\mu \nu }={\frac {n-1}{\alpha ^{2}}}g_{\mu \nu }$

ので、ド・ジッター空間はアインシュタイン多様体である。このことは、ド・ジッター空間は、

$\Lambda ={\frac {(n-1)(n-2)}{2\alpha ^{2}}}$

により与えられる宇宙定数を持つアインシュタイン方程式の真空解であることを意味する。ド・ジッター空間のスカラー曲率は、

$R={\frac {n(n-1)}{\alpha ^{2}}}={\frac {2n}{n-2}}\Lambda .$

により与えられる。n = 4 の場合、Λ = 3/α² であり、R = 4Λ = 12/α² である。

静的な座標

ド・ジッター空間へは、静的座標(static coordinates) $(t,r,\ldots )$ を次のようにして導入することができる。

$x_{0}={\sqrt {\alpha ^{2}-r^{2}}}\sinh(t/\alpha )$

$x_{1}={\sqrt {\alpha ^{2}-r^{2}}}\cosh(t/\alpha )$

$x_{i}=rz_{i}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 2\leq i\leq n.$

ここに、$z_{i}$ は (n−2)-球面の Rⁿ⁻¹ の中への標準的な埋め込みを与える。 これらの座標では、ド・ジッター計量は、

$ds^{2}=-\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)dt^{2}+\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega _{n-2}^{2}.$

となる。$r=\alpha$ には天文学的地平線(cosmological horizon)が存在することに注意する。

平坦なスライシング

$r^{2}=\sum _{i}y_{i}^{2}$ として、

$x_{0}=\alpha \sinh(t/\alpha )+r^{2}e^{t/\alpha }/2\alpha ,$

$x_{1}=\alpha \cosh(t/\alpha )-r^{2}e^{t/\alpha }/2\alpha ,$

$x_{i}=e^{t/\alpha }y_{i},\qquad 2\leq i\leq n$

とすると、$(t,y_{i})$ 座標では、計量は、

$ds^{2}=-dt^{2}+e^{2t/\alpha }dy^{2}$

である。ここに $dy^{2}=\sum _{i}dy_{i}^{2}$ は $y_{i}$ の上の平坦な計量である。

開いたスライシング

標準計量 $\sum _{i}dz_{i}^{2}=d\Omega _{n-2}^{2}$ を持つ $S^{n-2}$ を形成する $\sum _{i}z_{i}^{2}=1$ を考え、

$x_{0}=\alpha \sinh(t/\alpha )\cosh \xi ,$

$x_{1}=\alpha \cosh(t/\alpha ),$

$x_{i}=\alpha z_{i}\sinh(t/\alpha )\sinh \xi ,\qquad 2\leq i\leq n$

とすると、ド・ジッター空間の計量は、

$ds^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\sinh ^{2}(t/\alpha )dH_{n-1}^{2},$

である。ここに

$dH_{n-1}^{2}=d\xi ^{2}+\sinh ^{2}\xi d\Omega _{n-2}^{2}$

はユークリッド的な双曲空間の計量である。

閉じたスライシング

$z_{i}$ で $S^{n-1}$ を表すして、

$x_{0}=\alpha \sinh(t/\alpha ),$

$x_{i}=\alpha \cosh(t/\alpha )z_{i},\qquad 1\leq i\leq n$

とすると、計量は、

$ds^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\cosh ^{2}(t/\alpha )d\Omega _{n-1}^{2}.$

である。

$\tan(\eta /2)=\tanh(t/2\alpha )$ により時間変数を共形時間へ変えると、アインシュタインの静的宇宙に共形同値な計量

$ds^{2}={\frac {\alpha ^{2}}{\cos ^{2}\eta }}(-d\eta ^{2}+d\Omega _{n-1}^{2}).$

を得る。これはド・ジッター空間のペンローズダイアクラムを求めることができる。

ド・ジッタースライシング

$z_{i}$ で $S^{n-3}$ を表し、

$x_{0}=\alpha \sin(\chi /\alpha )\sinh(t/\alpha )\cosh \xi ,$

$x_{1}=\alpha \cos(\chi /\alpha ),$

$x_{2}=\alpha \sin(\chi /\alpha )\cosh(t/\alpha ),$

$x_{i}=\alpha z_{i}\sin(\chi /\alpha )\sinh(t/\alpha )\sinh \xi ,\qquad 3\leq i\leq n$

とすると、計量は、

$ds^{2}=d\chi ^{2}+\sin ^{2}(\chi /\alpha )ds_{dS,\alpha ,n-1}^{2},$

である。ここに

$ds_{dS,\alpha ,n-1}^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\sinh ^{2}(t/\alpha )dH_{n-2}^{2}$

は開いたスライシングでの曲率 $\alpha$ の半径を持つ $n-1$ 次元ド・ジッター空間の計量である。双曲計量は、

$dH_{n-2}^{2}=d\xi ^{2}+\sinh ^{2}\xi d\Omega _{n-3}^{2}$

により与えられる。

これは、$(t,\xi ,\theta ,\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{n-3})\to (i\chi ,\xi ,it,\theta ,\phi _{1},\cdots ,\phi _{n-4})$ の下での開いたスライシングの解析接続であり、時間ライクと空間ライクな性質を交換するので、$x_{0}$ と $x_{2}$ を交換する。

関連項目

• 反ド・ジッター空間(Anti-de Sitter space)
• ド・ジッター宇宙(de Sitter universe)
• AdS/CFT対応
• 双曲面
• ド・ジッター＝シュヴァルツシルト計量(De Sitter–Schwarzschild metric)

参考文献

• Qingming Cheng (2001), “De Sitter space”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://eom.springer.de/d/d110040.htm 
• de Sitter, W. (1917), “On the relativity of inertia: Remarks concerning Einstein's latest hypothesis”, Proc. Kon. Ned. Acad. Wet. 19: 1217–1225 
• de Sitter, W. (1917), “On the curvature of space”, Proc. Kon. Ned. Acad. Wet. 20: 229–243 
• Levi-Civita, Tullio (1917), “Realtà fisica di alcuni spazî normali del Bianchi”, Rendiconti, Reale Accademia Dei Lincei 26: 519–31 
• Nomizu, Katsumi (1982), “The Lorentz–Poincaré metric on the upper half-space and its extension”, Hokkaido Mathematical Journal 11 (3): 253–261 
• Coxeter, H. S. M. (1943), “A geometrical background for de Sitter's world”, American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 50 (4): 217–228, doi:10.2307/2303924, JSTOR 2303924, https://jstor.org/stable/2303924 
• Susskind, L.; Lindesay, J. (2005), An Introduction to Black Holes, Information and the String Theory Revolution:The Holographic Universe, p. 119(11.5.25)