窓関数

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窓関数（まどかんすう、英: window function）とは、ある有限区間以外で0となる関数である。 ある関数や信号（データ）に窓関数が掛け合わせられると、区間外は0になり、有限区間内だけが残るので、数値解析が容易になる。 窓関数は、スペクトル分析、フィルタ・デザインや、音声圧縮に応用される。 窓関数を単に窓 (window) ともいい、データに窓関数を掛け合わせることを窓を掛ける (windowing) という。

目次

窓関数の意味 [編集]

フーリエ変換は、区分的に C^1 \, 級な任意の関数 f(x) \, を、三角関数（あるいは指数関数）の線形結合で表す。 なお、f \, のフーリエ変換を \mathfrak{F} f で表す。

フーリエ変換では、関数 f(x) \, も三角関数も、無限区間 (-\infty,\infty) で定義されている。 しかし、実データを数値的にフーリエ変換するなら、無限の長さは扱えないので、有限区間 [a,b] \, でフーリエ変換をおこない、区間外は無視することになる。 これは、関数 f(x) \, を区間外で0とみなすことに等しい（「区間内のデータを周期的に繰り返す」という表現をすることもあるが、DFT（離散フーリエ変換）の場合はこの2つは等価である）。

つまり、関数 f(x) \, と関数

w(x) = \begin{cases} 1, & \mbox{if } a \leq x \leq b \\ 0, & \mbox{otherwise} \end{cases}

の積 (wf)(x) = w(x)f(x) \, を求め、そのフーリエ変換 \mathfrak{F} (wf) を、\mathfrak{F} f の代わりに得ていることになる。 このとき掛け合わせた関数 w(x) \, が窓関数である。

ここで定義した窓関数 w(x) \, （矩形窓という）でなくても、有限区間外が0で区間内が有界な関数ならば、窓関数として使える。 そこで、さまざまな窓関数が考案されている。 実際、上の矩形窓はあまり性能がよくない。それは、x = a, b \, にいちじるしい不連続があるからである。 実際に使われる窓関数のほとんどは、両端が滑らかに小さくなり区間外の0につながる、山形の関数である。

窓関数の性能 [編集]

矩形窓のパワー・スペクトル
メインローブ及びサイドローブ

窓関数を使って求めたスペクトル \mathfrak{F} (wf) と、本来のスペクトル \mathfrak{F} f は、もちろん同じではない。 積のフーリエ変換はフーリエ変換の畳み込み、つまり、

\mathfrak{F} (wf) = \mathfrak{F} w * \mathfrak{F} f

である。 余分な \mathfrak{F} w が畳み込まれることによって、フーリエ変換の結果は変化するが、この変化は望ましいものではない。

一般に \mathfrak{F} w は、中心が絶対値が大きく、両側に離れるにつれ小さくなるが、0になることはない（w(x) \, が有限区間外で0ならば、常にそうなる）。 ただし、単峰性ではなく、図のように、無数の峰を持つ。 各々の峰をローブといい、中央のいちばん大きいローブをメインローブ、他をサイドローブという。このような \mathfrak{F} w が畳み込まれることにより、スペクトルは、ピークがなまり（周波数分解能が下がり）、ノイズ・フロアが上がる（ダイナミック・レンジが狭まる）ことになる。

窓関数には、

  1. メインローブが狭い（周波数分解能が良い）
  2. サイドローブが低い（ダイナミックレンジが広い）

という2つの特長が要求される。 しかし、この2つはトレード・オフの関係にあり、両立させるには限界がある。 そのため、ある状況では最適だった窓関数が、別の状況ではそうではないということも起こる。

雑音帯域幅 [編集]

周波数分解能とダイナミックレンジの概念は、窓関数の使用者が何を行おうしているかに依存しており、やや主観的な傾向がある。 しかしながら、周波数分解能やダイナミックレンジは、定量化可能な全リーク[1]量と密接に関連する。 リークは一般的に等価の帯域幅 B として表される。 リークについてDTFTによる長方形（高さはスペクトルの最大で幅は B ）への再分配を考えた場合、より多くのリークはより大きな帯域幅となる。 入力信号がランダム・ノイズ成分を含んでいる（あるいは単にランダム・ノイズである）時、それぞれのDFTビンに含まれる平均電力に比例するため、この帯域幅は雑音等価帯域幅もしくは等価雑音帯域幅と呼ばれる。 一定時間で平均化したパワースペクトルのグラフが一般的に水平なノイズフロア（英語版）として現れる現象は、この結果発生している。ノイズフロアの高さは B に比例する。よって、2つの異なる窓関数では、異なるノイズフロアが発生する。

窓関数の応用 [編集]

フーリエ変換に限らず、DCT（離散コサイン変換）や連続ウェーブレット変換でも、窓関数を使う。

とりわけ、近年、音声圧縮などに使われるMDCT（修正離散コサイン変換）のための窓関数は、プリンセン‐ブラッドリー条件 (Princen-Bradley condition) という、他の用途では要求されない性質が必要なこともあり、独特なものが新しく登場している。 なお、プリンセン‐ブラッドリー条件を満たす窓関数を、MDCT窓、プリンセン‐ブラッドリー窓などという。

変わった応用では、窓関数を掛けるのではなく、畳み込むという手法がある。 \mathfrak{F} (w * f) = \mathfrak{F} w \mathfrak{F} f（畳み込みのフーリエ変換はフーリエ変換の積）なので、窓関数がデジタル・フィルタとして働くことになる。

フィルター・デザイン [編集]

詳細は「フィルター・デザイン（英語版）」を参照

窓関数はディジタルフィルタのデザインにも用いられる。Sinc関数によって、理想的的な無限系列中のIIR（無限インパルス応答）のフィルター処理を有限系列中のFIR（有限インパルス応答）フィルター・デザインによる処理に変換する場合などがこれに該当する。これを "window method" と呼ぶ。[2][3]

窓関数の例 [編集]

特に断らない限り、区間を [0,1] \, にとり、\max_{x} w(x) = 1 \, と正規化した式を書く。 区間を [-1,1] \, にとる資料もある。 w(x) = 0 \, となる場合分けは省略した。w(x) = 0, \mbox{ otherwise} \, を適宜おぎなって読んでほしい。

離散化するには、k = 0, \ldots , N - 1 に対して、x = k / (N - 1) \, と、x = (k + 0.5) / N \, の2種類の方法があるが、特殊な用途を除き、どちらでも大差はない。また、初めから k \, に対する関数 w(k) \, や系列 w_k \, を表す資料もあるので、注意してほしい。

グラフは、x = k / (N - 1) \, と離散化したときの、窓関数自身と、DFTで求めたパワースペクトルである。

代表的な窓関数 [編集]

矩形窓 [編集]

矩形窓

rectangular window。方形窓とも。

単に有限長のデータを用意しただけのとき、暗黙のうちにこの窓関数を使っている。理論上、周波数分解能は最も良い。

  • w(x) = 1, \ \mbox{if } 0 \leq x \leq 1

ガウス窓 [編集]

ガウス窓

Gauss window。ガウシアン窓 (Gaussian window) とも。

理論上、最も高性能な窓関数だが、コンパクト・サポートでない（有界区間の両端で0にならない）ので、実際には使えない。使うときは、適当な区間の外を0にする必要がある。主に、ガボール変換 (Gabor transform)や連続ウェーブレット変換で使われる。

  • w(x) = \exp \left( -\frac{x^2}{\sigma^2} \right)

ハン窓 [編集]

ハン窓

詳細は「ハン関数（英語版）」を参照

hann window（hannは人名由来だが、慣習的に小文字で書く）。フォンハン窓 (von Hann window)、2乗余弦窓、raised cosine windowとも。ユリウス・フォン・ハン（英語版）が考案した。ハン窓及び後述のハミング窓は、後の研究で後述する一つの関数族「一般化ハミング窓（"raised cosine" または "generalized Hamming" 窓）」に分類されたため、ハン（Han）とハミング（Hamming）両名の名前から合成された「ハニング窓（hanning window）」という呼び方でハン窓を指す場合もある。

最もよく使われる窓関数の一つ。

  • w(x) = 0.5 - 0.5 \cos 2 \pi x, \ \mbox{if } 0 \leq x \leq 1

ハミング窓 [編集]

ハミング窓

hamming window（hammingは人名だが、慣習的に小文字で書く）。ハン窓の改良版として、リチャード・ハミングが考案した。

ハン窓と並び、最もよく使われる窓関数の一つ。ハン窓より周波数分解能が良く、ダイナミック・レンジが狭い。区間の両端で不連続なのが特徴。

  • w(x) = 0.54 - 0.46 \cos 2 \pi x, \ \mbox{if } 0 \leq x \leq 1

テューキー窓 [編集]

ジョン・テューキーが考案した。コサイン関数を用いて以下のように表される[4]。

w(x)= \begin{cases}1,& x\leq \frac{L_x}{2}-x_w \\ \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos\left(\frac{\pi\left(x-\frac{L_x}{2}\right)}{x_w}\right),& \frac{L_x}{2}-x_w<x<\frac{L_x}{2}\\0,& x>\frac{L_x}{2} \end{cases}

ここでxw は窓の幅である。

ブラックマン窓 [編集]

ブラックマン窓

Blackman window。ラルフ・ブラックマン（英語版）が考案した。

ハン窓/ハミング窓より、周波数分解能が悪く、ダイナミック・レンジが広い。この種のフィルタの中では、最もよく使われる。

  • w(x) = 0.42 - 0.5 \cos 2 \pi x + 0.08 \cos 4 \pi x, \ \mbox{if } 0 \leq x \leq 1

カイザー窓 [編集]

カイザー窓、\alpha = 2 \,
カイザー窓、\alpha = 3 \,

詳細は「カイザー関数」を参照

Kaiser window。カイザー‐ベッセル窓 (Kaiser‐Bessel window) ともいうが、後述のカイザー‐ベッセル派生窓と紛らわしい。J・F・カイザーが考案した。

実数パラメタ \alpha \geq 0 \, を持つ（ \beta = \pi \alpha \, をパラメタとすることもある）。\alpha \, が大きいほど、ダイナミックレンジは広く、周波数分解能は悪くなる。2つの性能を連続的にトレード・オフできるのが特長である。周波数分解能はおおよそ \sqrt \alpha に反比例する。

\alpha = 0 \, では矩形窓と同じ。\alpha = 1.5 \, ではハミニング窓に、\alpha = 2 \, ではハン窓に、\alpha = 3 \, ではブラックマン窓に似た形になる。

  • w(x) = \frac{ I_0 \left\{ \pi \alpha \sqrt{ 1 - (2 x - 1) ^ 2 } \right\} }{ I_0( \pi \alpha ) }, \ \mbox{if } 0 \leq k \leq 1

ただし、I_0 \, は第1種の0次の変形ベッセル関数。

バートレット窓 [編集]

バートレット窓

Bartlett window。三角窓 (triangular window) とも。

教科書には必ず出てくるが、実際に使うことは少ない。

  • w(x) = 1 - 2|x - 0.5|, \ \mbox{if } 0 \leq x \leq 1

指数窓 [編集]

exponential window。

減衰積分をおこなうとき、暗黙のうちにこの窓関数を使っている。コンパクト・サポートでないので、実際に使うときは適当な区間の外を0にする。左右非対称なので、エコー検出など、時間非対称な問題に使う。

  • w(x) = \exp \frac{x}{T}, \ \mbox{if } x \leq 0

その他の窓関数 [編集]

一般化ハミング窓 [編集]

ハン窓とハミング窓の一般化。実数パラメタ a, \ 0.5 \leq a \leq 1 を持ち、a = 0.5 \, でハン窓、a = 0.54 \, でハミング窓、a = 1 \, で矩形窓になる。

  • w(x) = a - (1 - a) \cos 2 \pi x, \ \mbox{if } 0 \leq x \leq 1

バートレット‐ハン窓 [編集]

バートレット‐ハン窓

Bartlett‐Hann window。修正バートレット‐ハン窓 (modified Bartlett‐Hann window) とも。

バートレット窓とハン窓の線形混合。異なる比率のものを使うこともある。

  • w(x) = 0.62 - 0.48 | x - 0.5 | - 0.38 \cos 2 \pi x, \ \mbox{if } 0 \leq x \leq 1

ナットール窓 [編集]

ナットール窓

Nuttall window。

  • w(x) = 0.355768 - 0.487396 \cos 2 \pi x + 0.144232 \cos 4 \pi x - 0.012604 \cos 6 \pi x, \ \mbox{if } 0 \leq x \leq 1

ブラックマン‐ハリス窓 [編集]

ブラックマン‐ハリス窓

Blackman‐Harris window。

  • w(x) = 0.35875 - 0.48829 \cos 2 \pi x + 0.14128 \cos 4 \pi x - 0.01168 \cos 6 \pi x, \ \mbox{if } 0 \leq x \leq 1

ブラックマン‐ナットール窓 [編集]

ブラックマン‐ナットール窓

Blackman‐Nuttall window。

  • w(x) = 0.3635819 - 0.4891775 \cos 2 \pi x + 0.1365995 \cos 4 \pi x - 0.0106411 \cos 6 \pi x, \ \mbox{if } 0 \leq x \leq 1

フラット・トップ窓 [編集]

フラット・トップ窓

flat top window。スペクトルのメインローブの頂部が平らであることから、こう呼ぶ。別の式で表される窓関数を「フラット・トップ窓」と呼ぶことがある。

  • w(x) = 1 - 1.93 \cos 2 \pi x + 1.29 \cos 4 \pi x - 0.388 \cos 6 \pi x + 0.032 \cos 8 \pi x, \ \mbox{if } 0 \leq x \leq 1

パルザン窓 [編集]

Parzen window。

ガウス窓の区分3次関数による近似。

  • w(x) = \begin{cases} 1 - 1.5 x^2 + 0.75 |x|^3, & \mbox{if } |x| \leq 1 \\ 0.25 (2 - |x|)^3, & \mbox{if } 1 \leq |x| \leq 2 \end{cases}

赤池窓 [編集]

Akaike window。

  • w(x) = 0.625 - 0.5 \cos 2 \pi x - 0.125 \cos 4 \pi x, \ \mbox{if } 0 \leq x \leq 1

ウェルチ窓 [編集]

Welch window。

  • w(x) = 4 x (1 - x), \ \mbox{if } 0 \leq x \leq 1

MDCT窓関数 [編集]

MDCT（修正離散コサイン変換）の前処理に使う。 MDCTでの変数定義の慣習にしたがい、離散化には、x = (k + 0.5) / N, \ k = 0, \ldots ,N - 1 のデータ数を 2N \, とした式

x = \frac{ k + 0.5 }{ 2 N}, \ \ k = 0, \ldots ,2 N - 1

を用いることが多い。

サイン窓 [編集]

sine window。半波余弦窓 (half cycle sine window) とも。MP3など多くのフォーマットが使用。

  • w(x) = \sin \pi x, \ \mbox{if } 0 \leq x \leq 1

Vorbis窓 [編集]

Vorbis window。Vorbisが使用。

  • w(x) = \sin \left( \frac{\pi}{2} \sin^2 \pi x \right), \ \mbox{if } 0 \leq x \leq 1

カイザー‐ベッセル派生窓 [編集]

Kaiser‐Bessel derived window。KBD窓 (KBD window) とも。AC3やAACが使用。

詳細は「カイザー-ベッセル派生 (KBD) 窓」を参照

フィルタとして使う窓関数 [編集]

ランツォシュ窓 [編集]

詳細は「ランツォシュ関数（英語版）」を参照

Lanczos window。ランツォシュ・フィルタとも。ランチョス窓などとも（誤りか）。Lanczosの発音については「現在のハンガリー領出身のユダヤ系ハンガリー人」も参照。

整数パラメタ n \geq 1 \, を持つ。n \, の値によって、n \, 次ランツォシュ窓、ランツォシュ n \, 窓などと呼ぶ。

データのデシメーション（画像縮小など）の前処理に、LPF（低域通過フィルタ）として使われる。

  • w(x) = \mathrm{sinc} x \cdot \mathrm{sinc} \frac{x}{n}, \ \mbox{if } |x| \leq n

ただし、\mathrm{sinc}x = ( \sin \pi x ) / \pi x \, は正規化sinc関数。

Sinc窓 [編集]

詳細は「Sinc窓（英語版）」および「sinc関数」を参照

Brick-wall filters。

脚注 [編集]

  1. ^ リークとは、パワースペクトルのピークが隣のビンに広がる現象のこと。（“スペクトル解析の追加”. LeCroy. p. 12. 2012年8月19日閲覧。）
  2. ^ http://www.labbookpages.co.uk/audio/firWindowing.html
  3. ^ Mastering Windows: Improving Reconstruction
  4. ^ Earl G. Williams; 吉川茂、西條献児訳 『フーリエ音響学』 シュプリンガーフェアラーク東京、2005年、129頁。ISBN 4-431-71174-0。 

関連項目 [編集]

言語間リンク [編集]

外部リンク [編集]

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