無限インパルス応答

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無限インパルス応答(むげんインパルスおうとう、: Infinite impulse response, IIR)は、信号処理システムの属性の一種。この属性を持つシステムをIIRシステムと呼び、フィルタ回路の場合はIIRフィルタと呼ぶ。これらシステムは、無限長の時間においてゼロでない値を返すインパルス応答関数を持つ。対照的に、有限の時間についてのインパルス応答があるものを有限インパルス応答 (FIR) と呼ぶ。最も単純なアナログIIRフィルタとしてRCフィルタがあり、1つの抵抗器 (R) と1つのコンデンサ (C) で形成される。このフィルタは、RC時定数で決定される指数関数的インパルス応答の特性を持つ。

IIRフィルタはアナログフィルタだけでなく、デジタルフィルタとしても実装される。デジタルIIRフィルタでは、出力フィードバックは出力を定義する方程式から即座に求められる。FIRフィルタとは異なり、IIRフィルタ設計では、フィルタの出力が明確に定義されない「時刻ゼロ」の場合を注意深く扱う必要がある。

デジタルIIRフィルタの設計は、アナログIIRフィルタに基づいてなされてきた。多くの場合、デジタルIIRフィルタを設計するにあたってまずアナログIIRフィルタ(例えば、チェビシェフフィルタバターワースフィルタ楕円フィルタ)を設計し、双一次変換インパルス不変法といった離散化技法を適用してデジタルに変換する。

IIRフィルタは一般に、FIRフィルタに比較して高速で安価だが、バンドパスフィルタとしての性能や安定性が劣る。

IIRフィルタとしては、チェビシェフフィルタバターワースフィルタベッセルフィルタなどがある。

以下では、デジタルシグナルプロセッサで実装できる離散時間IIRフィルタについて解説する。

解説[編集]

まず、入力信号と出力信号の関係を定義した差分方程式を考える。


\begin{align}
 y[n] & = b_{0} x[n] + b_{1} x[n-1] + \cdots + b_{P} x[n-P] \\
      & - a_{1} y[n-1] - a_{2} y[n-2] - \cdots - a_{Q} y[n-Q]
\end{align}

ここで

  • \ P はフィードフォワードフィルタのオーダー
  • \ b_{i} はフィードフォワードフィルタの係数
  • \ Q はフィードバックフィルタのオーダー
  • \ a_{i} はフィードバックフィルタの係数
  • \ x[n] は入力信号
  • \ y[n] は出力信号

である。

この差分方程式を要約すると次のようになる。

\ y[n] = \sum_{i=0}^P b_{i}x[n-i] - \sum_{j=1}^Q a_{j} y[n-j]

これを \ a_0 = 1 として並べ替えると、次のようになる。

\ \sum_{j=0}^Q a_{j} y[n-j] = \sum_{i=0}^P b_{i}x[n-i]

フィルタの伝達関数を見つけるため、上記方程式の両辺のZ変換を行う。このとき、Z変換のシフト性を利用する。

\ \sum_{j=0}^Q a_{j} z^{-j} Y(z) = \sum_{i=0}^P b_{i} z^{-i} X(z)

ここで、伝達関数は次のように定義される。


\begin{align}
H(z) & = \frac{Y(z)}{X(z)} \\
     & = \frac{\displaystyle\sum_{i=0}^P b_{i} z^{-i}}{\displaystyle\sum_{j=0}^Q a_{j} z^{-j}}
\end{align}

ブロック図の説明[編集]

単純なIIRフィルタのブロック図

右図は典型的なIIRフィルタのブロック図である。z^{-1} ブロックは単位遅延である。係数やフィードバック/フィードフォワード経路の数は実装依存である。

安定性[編集]

伝達関数により、そのシステムが有界入力-有界出力 (BIBO) 安定かどうかを判断できる。BIBO安定であるためには、伝達関数の全ての極の絶対値が1未満でなければならない。言い換えれば、全ての極は z-平面上の単位円の中に位置しなければならない。

極は、 H(z) の分母が 0 となるような z の値として定義される。

\ 0 = \sum_{j=0}^Q a_{j} z^{-j}

明らかに a_{j}\ne 0 ならば、極は z-平面の原点に位置しない。これは、FIRフィルタで常に極が原点に位置し、常に安定しているのと対照的である。

IIRフィルタは、FIRフィルタに比べて遷移域がシャープであることから、FIRフィルタよりも好まれることがある。

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フィルタの伝達関数 H を次のように定義する。

H(z) = \frac{B(z)}{A(z)} = \frac{1}{1 - a z^{-1}} ここでROCa < |z| かつ 0 < a < 1

このときの極は a にあって、安定であり、因果性である。時間領域インパルス応答は次のようになる。

h(n) = a^{n} u(n)

これは n \geq 0 のとき、ゼロ以外の値をとる。

関連項目[編集]

外部リンク[編集]