伝達関数法

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伝達関数法(でんたつかんすうほう)とは、複素関数論(ラプラス変換など)を用いた制御系の解析法である。

伝達関数[編集]

伝達関数 (transfer function) とはシステムへの入力を出力に変換する関数のことをいう。伝達関数は、すべての初期値を 0 とおいたときの、制御系の出力と入力のラプラス変換(または Z 変換)の比で表される。すなわち、連続システムのとき、出力信号 y(t) のラプラス変換を Y(s)、入力信号 x(t) のラプラス変換を X(s) とすれば、伝達関数 G(s) は

G(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{\mathcal{L}\left[y(t)\right]}{\mathcal{L}\left[x(t)\right]}

と表される。

離散システムに対して、伝達関数は Z 変換によって、

H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\mathcal{Z}\left[y(n)\right]}{\mathcal{Z}\left[x(n)\right]}

と表される。

この伝達関数法では、時間領域の関数を、ラプラス変換(または Z 変換)によって複素平面に写像を取り、さらに周波数領域に変換することにより、系の特性や安定性を解析するのに用いる。ただし、対象となる系が 1 入力 1 出力(線形関数)に限られているため、複雑な系(多入力多出力、非線形)の解析には状態空間法を用いる。しかしながら、この伝達関数法は、今日の制御理論においても基礎となる重要な理論である。

周波数伝達関数[編集]

sjω とすると、周波数伝達関数 (frequency transfer function) は G(jω) と表される。 周波数伝達関数は複素数であるため、次のように表される。

 G(j\omega)= {\rm Re}\{G(j\omega)\} + j~{\rm Im}\{G(j\omega)\} = |G(j\omega)| e^{j\angle G(j\omega)}

この式の特性を見るためにナイキスト線図ボード線図ニコルス線図がある。

周波数伝達関数の絶対値 |G(jω)| を利得といい、偏角 \angle G(j\omega)位相(位相角)という。

各種要素の伝達関数[編集]

積分要素
G(s)=\frac{k}{s}
1次遅れ要素
G(s)=\frac{K}{Ts+1}
微分要素
G(s)=Ts
むだ時間要素
G(s)=e^{-s\tau} (通信遅延等)(解析が困難)
2次遅れ要素
G(s)=\frac{K}{(T_1 s+1)(T_2 s+1)}
G(s)=\frac{K}{s^2+2\zeta \omega_n s+\omega_n{}^2}\quad (\zeta<1)
G(s)=\frac{K}{s(Ts+1)}

関連項目[編集]