病的な (数学)

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ワイエルシュトラス関数は至る所で連続であるが微分可能ではない。

数学における病的な(びょうてきな、英語: pathological)事象とは、その性質が変則的に悪質であったり、直感に反すると見なされるようなもののことを言う。対義語には行儀の良い英語版(well-behaved)というものがある。反例によってある定理の有用性が脅かされた時に、その有用性を主張する立場の者が、そのような例は病的である、と述べることがしばしばある。有名な反例に、アレクサンダーの角付き球面英語版と呼ばれるものがある。それは、『空間 R3 にその球面 S2 を位相的に埋め込むことは、「行儀の悪い」挙動が生じる可能性を防ぐための追加条件が課されない限り、空間をきれいに分割する上での失敗を招くかも知れない』、という例である(ジョルダン-シェーンフリースの定理英語版を参照されたい)。

病的な事象を探す研究者は、特に解析学集合論の分野においては、広く応用可能な一般的な定理を見つけることよりも、既存の定理の不完全さを指摘することに興味を覚えるような実験主義者英語版であると言うことが出来るかも知れない。それらのいずれの活動も、数学の発展上重要な役割を担っている。

病的な関数[編集]

『病的な関数』の古典的な例の一つに、至る所で連続であるが微分可能ではない、ワイエルシュトラス関数と呼ばれるものがある。微分可能な関数とワイエルシュトラス関数の和は、ふたたび至る所で連続であるが微分可能ではない関数となるため、そのような性質の『病的な関数』は少なくとも微分可能な関数と同じ数だけ多く存在することが分かる。実際、ベールのカテゴリー定理により、連続な関数は一般的あるいは生来的には、至る所で微分不可能なものであるということが示される。

素人の考えでは、このような例は考え出せる関数が無限に存在することにより生じるのであって、数学者によってでさえも比較的わずかな研究しかなされておらず、彼らの関心は面白さや有用性の観点から『行儀の良い』関数へと向けられる傾向にある。

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参考文献[編集]

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