植木算
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植木算（うえきざん）は算数の文章題、またその解き方の一種。
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[編集] 概要
- 木を植える間隔や、植える木の本数、並木の長さなどを求めるもの。問題が「木」でないこともよくある。
- しっかりと数がかぞえられれば容易に答えられる場合がほとんどである。
- 植木算は、個々の問題は決して難しくない。むしろ、ある問題と、それに似たような問題とを混同しないような注意力や観察力が重要とされている。
- たとえば、下の例のように、植木が環状なのか、直線状なのかなどに注意しなければならない。
- 植木算はそのままでは前述のように単なる注意力の喚起を問うものであるが、平面植木算、空間植木算、鳩ノ巣原理とも関連し、オイラーの定理とも関連するものであり、その一部であるという側面を持つ。
[編集] 公式
- 一直線上に立っていて、両端にもある場合
- 木の本数＝間の数＋1
- 一直線上に立っていて、両端にない場合
- 木の本数＝間の数－1
- 円などの回りに立っている場合
- 木の本数＝間の数
これを用いて解く。
[編集] 例題1
- 42本の木が7メートル間隔で植えられている並木道がある。木は道の両側にあるとする。このとき、並木道の長さは何メートルか。
[編集] 解法
- これも冷静に考えれば何も難しいことは無い問題である。一応解法を示すと、
- 道路の片側にある木の数は21本。
- 21本の木の間にある、「木の間」の数は、20個。
- ここをしっかり考察することが、植木算の重要な点である。
- 7×20=140、ゆえに140メートルが答えである。
[編集] 例題2
- 周囲の長さが300メートルの池の周りに木を植えることにした。5メートル間隔で植える場合、木は何本必要か。
[編集] 解法
- これは割り算ができれば容易に解ける問題である。300/5=60で、60本が正解となる。
- これを、例題1のように、「間の数と木の数が違うから・・・」と考えると誤りとなる。環状の並木には端が無い、ということを考慮に入れて解かなければならない。
[編集] 例題3
5mの木を１mずつに切り分けたい。１回切るのに５分かかり，１回切るごとに１分休憩すると， 何分で切れるか。
[編集] 解法
2重の植木算になっている。 ４回切る，３回休憩する。 5×4+1×3＝23(分)
■答え■ 23分
[編集] 平面植木算
平面植木算とは広義の植木算の1つであり，いくつかのバリエーションがある。 線を分けるものは点であり，面を分けるものが線であり，立体（空間)を分けるものが面である。そこに植木算の意味がある。 普通，線を点で分けるものを植木算と呼称する。普通の植木算については，上に先人が自ら記述しているように，ほとんど自明のもので,単に注意力を促す問題に過ぎない。しかし，広義の植木算がいくつか考えられ,あながち自明とは言い切れない。こうした広義の植木算をあわせて考えることがなければ植木算の意味は希薄なものとなろう。 平面植木算といわれるものには，概ね，次の3パターンがある。
[編集] 平面植木算1
直線（線分）が網目状に分布している，または文字や方眼などを描いているとき，その格子点や辺上に点をとるときの点の数などを求めるもの。これは，いわゆる植木算を複雑にしたものの感がある。（人文字など） これは，オイラーの考えたグラフ理論（「一筆書き」や「多面体定理」や「四色定理」などつながり具合に関する理論）の一種であるという側面を持つ。
[編集] 平面植木算2
方眼によってかたどられた長方形の対角線がいくつの方眼を横切るかという問題。
[編集] 平面植木算3
何本の直線が平面を最大何個に分けるか。
[編集] 平面植木算3-2
円周上にいくつかの定点があるとき,その点どうしをすべて線で結んだとき，最大何個の領域に分けられるかという問題
[編集] 空間植木算
空間内に何個かの面があるとき，その面は何個の空間に分けるか。
合同な立方体を何個か直方体上に積み上げたものを，与えられた平面が，何個の立方体を横切るか。
などの問題がある。
平面植木算から，球をいくつの平面で最大何個に分けられるかというような問題も想定されるが，2006年現在，そのような問題は受験算数には出ていない。
例題
合同な立方体を、たてにa個,横にb個,高さにc個積み上げて直方体を作る。直方体の1つの頂点の隣の3つの頂点を通る平面で切ると何個の立方体が切断されるか。 （ただし、a,b,cは互いに素である。)
解法
(a－1)×（b－1）÷2＋(b－1)×(c－1)÷2＋(c－1)×(a－1)÷2＋(a－1)＋(b－1)＋(c－1)＋1
=(ab＋bc＋ca－1)÷2
