マジックナンバー (野球)

マジックナンバー（日本では一般にマジックと呼ばれる）はプロ野球の用語で、優勝までにあと何回勝たねばならないかにほぼ等しい。「他のチームの試合結果に関わらず、自チームがあと何勝すれば優勝が決定する」ということを意味する。日本では他の全チームに自力優勝（後述）の可能性がなくなった状況でのみこの値を用い、この条件を満たすことをマジックナンバーが「点灯」したという。 野球チームは優勝までに、マジック点灯⇒マジックナンバーを減らす⇒優勝という経過を通常たどる為、マジックナンバーはチームが優勝するまでの道筋として用いられる。

米国では自力優勝の条件が満たされない場合でもマジックナンバーを用いる為、「点灯」の概念はない。また米国では野球以外のスポーツでもマジックナンバーを用いる。

概要

定義

プロ野球のリーグ戦は総当たり戦（×複数回）の勝率により順位が決まる為、チームＢがチームＣに勝って勝率を上げたかどうかがそれらとは別のチームＡの順位に影響する。 したがってチームＡ，Ｂの順位はＡ対Ｂの試合（Ａ，Ｂの直接対決という）の結果だけでなく，ＡとＣとの試合結果やＢとＣとの試合結果にも影響される．

リーグ戦の途中段階において、

• チームＡが自力優勝可能であるとは、Ａが残りの試合に全勝すれば、それ以外の試合（Ａ以外のチームＢ、Ｃ間の試合）がどのような結果になろうともＡが優勝できる事を意味する。
• Ａの優勝が確定するとは、今後行われる試合がどのような結果になろうとも、リーグの最後にはＡが優勝する事を指す。（すなわち任意のチームＢ≠Ａに対し、Ｂが全ての残り試合に勝ったとしても、Ｂの勝率がＡの勝率を超える事ができない事を指す。）

チームＡのマジックナンバーとは，

• (Ａが今後n 勝してリーグが終了した時のＡの勝率） ＞ (Ｘが残り全ての試合に勝ってリーグが終了した時のＸの勝率)

が全てのチームＸに対して成り立つ最小のn の事である． 以上の定義から分かるように、Ａのマジックナンバーを計算するには、上式の左辺を上式の右辺が最も大きくなるチーム（(マジック)対象チーム）と比較すればよい。

性質

ＡのマジックナンバーはＡが勝つ度に大抵１減り，マジックナンバーが0なら優勝が確定する． またリーグ中マジックナンバーは減る事はあっても増える事はない．この為マジックナンバーは優勝が確定するまでに必要な勝利数にほぼ等しい． またマジック対象チームＢが負けた場合にもＡとＢとの勝利数の差が減少するので，マジック対象チームが負けるとＡのマジックナンバーが大抵１減る．

しかし例外的なケースではこれらが成り立たず，試合に勝ってもマジックナンバーが減らなかったり，逆に２減ったりする事がある為，マジックナンバーは必ずしも優勝確定までの勝利数と一致しない．

例外

マジックナンバーが不規則な振る舞いをするケースは３つある． まず第一に，マジック対象チームが入れ替わるケースがある． マジック対象チームＢ(のひとつ)が負けても，新しくマジック対象チームになった別のチームＣに対するマジックナンバーが減るとは限らないので，この場合マジックナンバーが減るとは限らない．

第二に，Ａがマジック対象チームＢと直接対決するケースがある． 両者が直接対決した場合，「Ａの勝利によるマジックナンバーの減少」と「Ｂの敗北による（Ａの）マジックナンバーの減少」が両方起こる為，通常はマジックナンバーが２減る． しかしさらに特殊なケースとして直接対決によるＢの敗北の結果マジック対象チームが別のチームＣに入れ替われば，Ａのマジックナンバーの減少が０だったり１だったりする場合もある．

第三のケースはＡが試合で引き分けた場合である． 日本プロ野球ではリーグでの順位は勝ち数でなく勝率で決まる事と勝率の分母に引き分けを入れない事の影響で、引き分けが起こると，Ａの勝率計算における分母とＢの勝率計算における分母が異なってしまう． これが原因で，Ａが試合において引き分けた場合，状況によってＡのマジックナンバーが１減ったり減らなかったりする．またＡの引き分け数とＢの引き分け数が極端に大きい状況下ではＢの敗北によりマジックナンバーが減らなかったり２減ったりする事もありうる．さらに言えば，引き分けによってマジック対象チームが入れ替わる事も考慮する必要がある．

引き分けがない場合

引き分けが無い場合，勝率の大小は勝ち数の大小に一致するので、チームＡのマジックナンバーは

$W_B + R_B - W_A + 1 \,$

の式で求めることができる。ここでＢはマジック対象チーム、W_A、W_B はそれぞれ現時点でのＡ、Ｂの勝ち数、R_B はＢの残り試合数（最後のプラス１はＡの勝ち数$\gneqq$Ｂの勝ち数を保障する為に必要）。 引き分けがある場合は前述した理由でより複雑な計算（後述）が必要になる。

なお引き分けがなく，さらに今後マジック対象チームの入れ替わりもないとすれば，

• マジックナンバー = 優勝確定までに必要な勝利数 + マジック対象チームとの直接対決数 + 1

となる為，優勝とマジックナンバーとの関係が明解である．

マジックナンバーの点灯

日本では「Ａ以外のチームが自力優勝可能ではなくなった」という条件を場合のみマジックナンバーを用い、Ａがこの条件を満たした場合にＡのマジックが点灯したという。またＡのマジックが一旦点灯した後にＡ以外のチームの自力優勝の可能性が復活した場合には、Ａの マジックが消滅したという。 上述したことからわかるように、自力優勝の条件を満たしていなくても原理的にはマジックナンバーを定義できる。 マジックが点灯していない状態におけるマジックナンバーを隠れマジックという事があり、マジック消滅後再点灯しそうな状況などで用いられる。

「マジック対象チームＢが残り試合を全勝した場合」というマジックナンバー計算の仮定をする場合、マジック点灯チームＡの残り試合のうちＢとの直接対戦においてＡの負けを想定する事になる。「それでもＢとの対戦以外を勝てば、Ａが優勝できる」という事を意味する「マジック点灯」には、一位二位が歴然として残り試合が多いケースで合理性がある。

点灯概念の限界

以下のケースではマジックナンバーの「点灯」は優勝に対する適切な指標にならない：

• 自力優勝可能な２チームの直接対決しか残っていない場合：この場合、「自分以外のチームの自力優勝可能性がない」という条件が満たされず、いずれのチームにもマジックが点灯しない。なおこの状況でも隠れマジックは定義できるので、隠れマジックを指標として使える。
• 残り試合数がチームによって大きく偏っている場合：大半の試合を消化したチーム同士が互いに潰しあっている状況では，それらのチームは自力では優勝できなくなる．この為こうした状況ではあまり試合を消化していないチームに（そのチームの優勝可能性とは無関係に）マジックが点灯する事がある．

計算方法

チームＡ，Ｘに対し，

• (Ａが今後n 勝してリーグが終了した時のＡの勝率） ＞ (Ｘが残り全ての試合に勝ってリーグが終了した時のＸの勝率)

を満たす最小のn をM_A,Xとすれば，Ａのマジックナンバーは

• $\max_{X\neq A}M_{A,X}$

により表されるので，以下M_A,Xの計算方法を説明する．

リーグの総試合数をT 、チームXの現時点での勝ち数、負け数、勝ち越し数、引き分け数、残り試合数をそれぞれW_X、L_X、D_X( = W_X − L_X)、E_X、R_X( = T − (W_X + L_X + E_X))とする。 チームＡが今後n 試合勝ってリーグが終了した場合のＡの勝率r_A は

$r_A = \frac{W_A+n}{T-E_A}$

である。チームＢをマジック対象チームとするとき、チームＢが全ての残り試合に勝った場合のＢの勝率r_B は

$r_B = \frac{W_B+R_B}{T-E_B}$

である。

Ａの勝率がＢの勝率を上回るにはr_A > r_B である必要がある。これに上式を代入して整理すると、

$n > \frac{T-E_A}{T-E_B}\cdot (W_B+R_B)-W_A$

M_A,Bは上の式を満たす最小の整数nなので、チームＡのＢに対するマジックナンバーM_ABは

$M_{A,B}=\left\lfloor\frac{T-E_A}{T-E_B}\cdot (W_B+R_B)\right\rfloor-W_A+1$

となる。ここで$\lfloor \cdot \rfloor$ は床関数。

引き分け数が同じ（又は引き分けが無い）場合、すなわちE_A = E_B( = 0) の場合、(T − E_A) / (T − E_B) = 1 でしかもW_B + R_B は整数なので、M_A,Bはは前述した式

$M_{A,B}=W_B+R_B-W_A+1 \,$　…①式

に一致する。

他の計算方法

（引き分けのある無しに関わらず）M_A,Bは以下の方法でも求める事ができる事が簡単な計算で確かめられる：

$M_{A,B}=\left\lfloor\frac{1}{2}\{(W_B-L_B+R_B)\frac{T-E_A}{T-E_B}-(W_A-L_A-R_A)\}\right\rfloor+1$

$=\left\lfloor\frac{1}{2}\{(D_B+R_B)(1-\frac{E_A-E_B}{T-E_B})-(D_A-R_A)\}\right\rfloor+1$

$=\left\lfloor\frac{D_B+R_B-D_A+R_A}{2}-\frac{D_B+R_B}{2} \cdot \frac{E_A-E_B}{T-E_B}\right\rfloor+1$

また上述の①式を変形することにより導かれる

$M_{A,B}=\left \lfloor \frac{L_B(E_A-E_B)}{T-E_B} \right \rfloor +T-(W_A+E_A)-L_B+1=\left \lfloor \frac{L_B(E_A-E_B)}{T-E_B} \right \rfloor +L_A+R_A-L_B+1$　…②式

の式を用いてもM_A,Bを計算する事もできる。

マジックナンバーの増減

定義より、マジックナンバーが増加する事はありえないが、リーグ戦が進むとマジックナンバーが減る事がある。 マジック点灯チームＡ、およびマジック対象チームＢの勝敗により、Ａのマジックナンバーは以下の挙動を示す（定義から明らか）：

• マジック点灯チームＡが１勝すると、マジックナンバーは1つ減る。
• マジック点灯チームＡが１敗した場合、マジックナンバーは変化しない。
• マジック点灯チームＡの引き分けが１つ増えると、マジックナンバーは1 + (N_M − N_EA) だけ減る。
• マジック対象チームＢが１勝した場合、マジックナンバーは変化しない。
• マジック対象チームＢが１敗すると、マジックナンバーは1 + (N_M − N_LB) だけ減る。
• マジック対象チームＢの引き分けが１つ増えると、マジックナンバーは(N_M − N_EB) だけ減る。

ここでN_M 、N_EA 、N_LB 、N_EB は、

$N_M=\left\lfloor\frac{L_B(E_A-E_B)}{T-E_B}\right\rfloor$　　$N_{EA}=\left\lfloor\frac{L_B(E_A-E_B+1)}{T-E_B}\right\rfloor$

$N_{LB}=\left\lfloor\frac{(L_B+1)(E_A-E_B)}{T-E_B}\right\rfloor$　　$N_{EB}=\left\lfloor\frac{L_B(E_A-E_B-1)}{T-E_B-1}\right\rfloor$

で表わされる整数とする。

以上をまとめると次のようになる。

マジックナンバー MABの変化		Bの勝敗
		試合なし	勝ち	負け	分け
Aの勝敗	試合なし	0	0	− 1 − NM + NLB	NEB − NM
	勝ち	− 1	− 1	− 2 − NM + NLB	− 1 + NEB − NM
	負け	0	0	− 1 − NM + NLB	NEB − NM
	分け	− 1 − NM + NEA	− 1 − NM + NEA	− 2 − 2NM + NEA + NLB	− 1 − 2NM + NEA + NEB

ただし、マジック対象チームが交代する場合には上記のような挙動には必ずしも当てはまらない。

引き分けの場合は1つ減るかどうかは勝率により左右されるが、引き分け再試合制でない場合、点灯チームと対象チームの双方が引き分ければ通常は1つ減るが、引き分け数にばらつきがある場合に変則的な減り方をする事が稀にある。

いったん消滅した後に再点灯した場合も、消滅した時の数字より小さくなる（マジックナンバーが点灯したチームが変われば数字上は増えることはありうる）。それは各チームがそれぞれに個別にマジックナンバーがあり、はじめは直接対決などの考慮に入れないいわゆる隠れマジック（後述）となっており、隠れマジックの状態でも試合に勝利したり対戦相手が敗れれば数字が減少するからである。

マジック点灯のスピード記録

※パ・リーグの前後期優勝及びプレーオフ進出マジックは含まない

• M62 7月6日 南海ホークス （1965年） - プロ野球史上最速のマジック点灯
• M49 7月8日 阪神タイガース （2003年） - セリーグ史上最速のマジック点灯
• M46 7月22日 阪神タイガース （2008年） - 非優勝チームにおけるマジック最速点灯記録

米国の「Magic Number」

米国の場合は、他チームの自力優勝の可能性を考慮しない。よって、「点灯」という概念がない（点灯がないため、当然消滅もない）。この為2001年にアメリカン・リーグ西地区のシアトル・マリナーズが独走した時、シーズン前半にして早くも地区優勝マジック97が点灯していたが、話題にしていたのは日本のメディアのみであった。

またメジャーリーグでは引き分けがない為，マジックナンバーの計算に前述した簡単な式を用いる事ができる．

語源

ビンゴゲームにおいて、日本でいう「リーチ」状態の時に、ビンゴ完成のために必要な番号をマジックナンバーと呼ぶのが語源とされている。「この数字が出て頂戴」と呪文(magic word)のようにお祈りする数字である。それが転用されて「実現を願う数字」を意味する語として使われるようになり、特にリーグ戦方式のスポーツでは「そのチームの優勝までに必要な最小勝利数」の意味に使われるようになった。野球では1947年には使われていたとされる。

日本には語源まで伝わらなかったため（ビンゴでは独自に「リーチ」という言葉が定着している）、いくつかの俗説が流布している。「点いたり消えたりするから」という説が有名だが、上述の通り米国では他チームの自力優勝の可能性と関係なく数える。また「（カレンダーのように）マジックで数字を消していくから」という説もあるが、日本のマジックインキ、米国のマジックマーカー共に1950年代の発売であり、「マジックナンバー」の語が使われ始めた1940年代よりも後である。

特異例

2006年のパシフィック・リーグでは、9月22日に1位の北海道日本ハムファイターズ以外のチームに自力シーズン1位の可能性がなくなったにもかかわらず、日本ハムにマジックナンバー（レギュラーシーズン1位決定マジック）が付かないという異例のケースが起こった。

9月22日時点でのパ・リーグの1位から3位までの順位を下に示す。

順位	チーム	成績	勝率	残り試合
1位	日本ハム	80勝52敗0分	.606	4（ソフトバンク2・ロッテ2）
2位	西武	78勝52敗2分	.600	4（ロッテ2・楽天2）
3位	ソフトバンク	75勝51敗5分	.595	5（日本ハム2・オリックス2・楽天1）

※4位以下（ロッテ・オリックス・楽天）はすでにBクラスが確定

一方、上位3チームが残り試合を全勝した場合の勝率は以下のとおりである。

チーム	成績	勝率
日本ハム	84勝52敗0分け	.618
西武	82勝52敗2分け	.612
ソフトバンク	80勝51敗5分け	.611

既に日本ハムとの直接対決を終えていた西武の自力シーズン1位は消滅していた。しかし、ソフトバンクは日本ハムとの直接対決を2試合残していた。ソフトバンクが残り試合に全勝した場合、日本ハムは最高でも2勝しかできない。この場合、日本ハムの最高勝率は.603（82勝54敗0分け）となり、ソフトバンクが日本ハムを上回ることになる。しかし、そのソフトバンクも直接対決がもうない西武の勝率を自力で上回ることはできないため、自力シーズン1位はやはり消滅していた。

以上をまとめると、「自力で1位になれるのは日本ハムだけだが、3位のソフトバンクは1位である日本ハムの勝率を自力で上回ることができる。しかし、ソフトバンクは2位である西武の勝率を自力で上回ることができない」という三つ巴の状況であった。1位チームの勝率を自力で上回れるチームがあれば、そのチームが2位チームでなくとも、また自力優勝(1位)の可能性がなくともマジックは付かないので、日本ハムのマジックは点灯しなかった。

ちなみに22日は3チームの中で西武だけが試合があり、西武が負けたためこのような状況になったが、21日の段階では西武が2位ながら日本ハムに対しても自力で勝率を上回ることができたので、西武に「逆マジック5」が点灯していた。「逆マジック」も数年に1度程度しか出ないものであり、いかにこの年の1位争いが熾烈だったかが分かる。

実際の経過

• 9月19日　2位の西武にマジック5が再点灯。
• 9月22日　西武● で上記の状況。新聞各社「マジック消滅」と報じる。
• 9月23日　日本ハム●　西武○　ソフトバンク●　※西武が首位に立ち、1位通過マジック3が「再点灯」。
• 9月24日　3チームとも●　※西武の1位通過マジックは2。
• 9月26日　西武●　日本ハム○　ソフトバンク●　※西武の1位通過マジックが消滅。日本ハムが首位に立ちマジック1が点灯。ソフトバンクの1位は消滅。
• 9月27日　日本ハムが勝ったため、日本ハムのシーズン1位が決定。

派生用法・関連語

マジックナンバーは、リーグ戦において、他チームの自力優勝を加味した上で、リーグ優勝の確定に必要な勝利数のことであるが、単に「目標まであといくつ」という意味で用いられることもある。（自力優勝に関係なく「優勝まであとn勝」など、トーナメント戦でも決勝進出のことを「マジック1」など、「2000本安打までマジック9」などのような使われ方をする場合もある。これらはすべて派生的な用法である。

逆マジック

マジックナンバー点灯チームが、必ずしもその時点での首位のチームとは限らない。これは、ある日付に残り試合数が異なっていると、残り試合の多い方が最終勝率・勝利数を高められる場合があるためである。マジックナンバー点灯チームよりマジックナンバー対象チームが上位にいる場合「逆マジック」ともいう。

なお「逆マジック」は、あと何敗すると最下位が決定するか、もしくは優勝やポストシーズン進出が消滅するかといった、敗北状態へのカウントダウンのために用いられる場合もある。特に前者の意味では「裏マジック」・「最下位マジック」という言葉もある。

プレーオフマジック（クライマックスマジック）

2004年からパシフィック・リーグがプレーオフを導入。また、2007年から両リーグでクライマックスシリーズ（以下「CS」という。）がスタートした。これに進出できるまでのマジックを、それぞれ「プレーオフ進出マジック」「クライマックスシリーズ進出マジック（略してCSマジック、あるいはCMと表記される）」。自力で今いる順位に入る可能性がなくなったチームが3チーム以上になった場合にそのチームに点灯する。

対象となるチームは4位以下（Bクラス）の全チームであることが多いが、残り試合数に差があれば、優勝マジックと同様にBクラスのチームに点灯する可能性もある。主な概要は優勝マジックと同じである。また、下位のチームの勝率が5割以下になることが確定した場合、マジックが3減ることもある。

最速点灯記録は7月8日の阪神（2008年・M55）。CSへは、各リーグ6チーム中上位3チームが出場できるため、自チームが残り試合全敗で、他チームのうち、残り試合全勝でも自チームより勝率が上回れないチームが3チーム以上あれば、自チームのCS進出が決まる（CSマジックがゼロになる）。CSマジックの場合、マジック点灯チーム、マジック対象チームのいずれも複数のため、その計算はリーグ優勝マジックよりも複雑であり、メディアが見落とすこともまれにある

こうした経緯もあり、共同通信社では2010年シーズンはCS進出決定となるまでの勝利数の指標として「CSクリンチナンバー」を配信することとした。

詳細はクライマックスシリーズ#クリンチナンバーも併せて参照。

不具合の事例

共同通信社の「マジックナンバー計算プログラム」の不具合として、以下の事例が挙げられる。

2009年9月12日に、CMが1であった巨人のクライマックスシリーズ進出決定が報じられた。9月11日終了時、セ・リーグにおいて、巨人は75勝39敗9分で勝率.658。CM「1」と報じられていた。巨人は残り21試合全敗した場合の最終勝率.556（75勝60敗9分）となる。6位の横浜（43勝78敗0分）は残り23試合に全勝しても最終勝率は.458、5位の広島（55勝63敗4分）も残り22試合に全勝しても最終勝率.550であり、この2チームはいずれも巨人を上回れない。一方、3位の東京ヤクルトは56勝61敗1分で、残り26試合全勝すると最終勝率は.573、4位の阪神は56勝62敗4分で、残り22試合に全勝すると最終勝率は.557となり、いずれも巨人が残り試合全敗した場合の最終勝率を上回る。このため、共同通信社の配信記事は、巨人のCMを「1」としていた。

しかし、この時点で阪神は残り試合に全勝しないと巨人の勝率を上回ることはできない状態にあり、一方の東京ヤクルトは2敗以内であれば巨人を上回る可能性はあったものの、東京ヤクルトと阪神の直接対決が6試合残っていたために両チームが揃って巨人を上回る可能性はなく、同時に巨人が4位以下になる可能性もなくなっていたため、CS進出が既に確定していたことが発覚した。

この事例では、阪神と東京ヤクルトが「巨人を上回れる最低成績での敗戦数の合計」が「阪神・東京ヤクルトの直接対決の数（6）」未満となれば、いずれか一方はその他の試合を全勝しても巨人の成績を上回れなくなるため、その時点で巨人の3位以上は確定する。そのため、実際には9月11日の前日の9月10日の時点で、巨人のCS進出は決定していたことになる。

9月9日

• 巨人 敗戦（73勝39敗9分 .652）残り23試合 全敗時73勝62敗9分 .541
• ヤクルト 敗戦（55勝60敗1分 .478）残り28試合
• 阪神 勝利（55勝61敗4分 .474）残り24試合

阪神は残り21勝3敗であれば.542となり巨人を上回る。東京ヤクルトも残り23勝5敗であれば.543で巨人を上回るため、この日の時点では確定していない。

9月10日

• 巨人 勝利（74勝39敗9分 .655）残り22試合 全敗時74勝61敗9分 .548
• ヤクルト 敗戦（55勝61敗1分 .474）残り27試合
• 阪神 敗戦（55勝62敗4分 .470）残り23試合

阪神は残り22勝1敗で.550となるが、この場合の東京ヤクルトの最高勝率は22勝5敗（阪神との直接対決で最低5敗を要するため）で.538となる。逆に東京ヤクルトが24勝3敗とした場合は.552となるものの、阪神の最高勝率は20勝3敗時の.536となるため、両チームが同時に巨人を上回れる可能性が消滅した。

（9月11日時点での成績から、それ以前の試合結果を元に成績及び最低・最高勝率を算出）

関連項目

• プロ野球
• マジックナンバー - 野球用語以外の用法