調和共役 (幾何学)

$D$ は $A$ , $B$ に対する $C$ の調和共役
$A, D, B, C$ は調和点列

$KLMN$ は完全四角形

射影幾何学において、調和共役（ちょうわきょうやく、英語: harmonic conjugate）は、実射影直線における以下の点の関係のことである^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]。

同一直線上にある三点

A, B, C

について

L

をその直線上にない点、

M, N

をそれぞれある

C

を通る直線と

LA, LB

の交点とする。また

AN

と

BM

の交点を

K

とする。

LK

と

AB

の交点

D

を

C

の

A

,

B

に対する調和共役点という^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]。

$D$ は複比の不変性やデザルグの定理により、点 $L$ や直線 $M$ $N$ の取り方に依らない。

またこのときの複比については $(A, B; C, D) = -1$ が成り立つ。

平面幾何学では{P,Q}調和共役（{P,Q}-harmonic conjugate）と書かれることもある^[12]。

複比の基準

$A, D, B, C$ は調和点列（Harmonic range）または調和列点と呼ばれている^[13]^[14]^[15]^[16]^[17]^[18]^[19]^[20]^[21]。 $AB$ に対する $D$ の内分比と $C$ の外分比は常に等しい。つまり以下が成り立つ。 ${\overline {AC}}:{\overline {BC}}={\overline {AD}}:{\overline {DB}}\,.$ 線分比について符号付き距離を導入すると複比は以下の式で表される。

(A,B;C,D)={\frac {\overline {AC}}{\overline {AD}}}\left/{\frac {\overline {BC}}{-{\overline {DB}}}}\right.,

調和点列の複比は常に-1である。

(A,B;C,D)={\frac {\overline {AC}}{\overline {AD}}}\times {\frac {\overline {BD}}{\overline {BC}}}=-1.

複比を取る4点の選びは6通りあり、選び方によって複比の値は変わってしまう。しかし、調和点列の場合、 ${-1, 1/2, 2}$ のいずれかとなる。これらは調和比（harmonic cross-ratio）と呼ばれる^[22]^[8]^[23]^[24]。

実数直線状の点 $a, b$ について点 $x$ の分割比（division ratio）は以下の式で表される^[25]^[26]。 $t(x)={\frac {x-a}{x-b}}.$ $a < x < b$ ならば、 $t (x)$ は負の値を取る。逆に $a, b$ の外であれば正の値を取る。複比は分割比を用いて $(c,d;a,b)={\tfrac {t(c)}{t(d)}}$ と書くことができる。 $t (c) + t (d) = 0$ ならば、 $c$ と $d$ は $a$ , $b$ に対する調和共役である。

調和共役の関係にある2つの点との距離が、調和点列の分比である点の軌跡はアポロニウスの円と呼ばれる。

中点の調和共役

$a$ と $b$ の中点 $x$ に対しての分割比は-1である。 $t(x)={\frac {x-a}{x-b}}=-1.$ 複比の基準によれば、中点 $x$ の調和共役点 $y$ は $t (y) = 1$ を満たさなければならない。しかし無限の概念を使わねば、 $y$ を定義することができない。 $\lim _{y\to \infty }t(y)=1,$ 中点 $x$ の調和共役点は実数直線上の無限遠点として定義される。

調和四角形

調和共役と完全四辺形（英語版） $KLMN$ は深い関係にある。完全四角形の調和共役による表現はH. S. M.コクセターによって提唱された。

どの3点も共線でない4点

A,B,C,D

を結んでできる6つの直線のからできる図形を完全四角形または完全四辺形という^[27]。

最初に調和共役を用いたカール・フォン・シュタウトは著作「Geometrie der Lage」の中で、調和共役を初等幾何学の概念から射影幾何学の概念へ発展させた^[28]。

ジョン・ウェスレー・ヤング（英語版）によれば、調和四角形によって中点を定義することができる。

2直線

AQ, AS

についてそれぞれ平行な直線,

BS, BQ

を描く。

AQ, SB

の交点は無限遠点

R

、

AS, QB

の交点無限遠点

P

である。調和四角形

PQRS

の対角線は直線

A

B

と、

A

B

上の無限遠点

M

である。平行四辺形の対角線の交点は対角線を二等分することより、

M

の調和共役点は

AB

の中点である^[29]。

円錐曲線

円錐曲線 $C$ と $C$ 上にない $P$ について、 $P$ を通る直線と $C$ の交点をそれぞれ $A$ , $B$ とする。直線が動くとき、 $P$ の $A$ , $B$ に対する調和共役点は、ある直線上を動く。この時 $P$ を極（pole）、調和共役点の動く直線を $P$ の極線（polar line）と言う。

反転幾何学

詳細は「反転幾何学」を参照

特に円の場合、調和共役は円による反転と等しい。これはSmogorzhevskyの定理の一つである^[30]。

円

k

,

q

が垂直に交わっているとき

k

,

q

の中心を結ぶ直線と

q

の2つの交点は

k

について、反転の関係にある。また、

k

の中心,

k

と直線の

q

側の交点に対して

k

,

q

の中心を結ぶ直線と

q

の2つ交点は調和共役の関係にある。

円錐曲線とJoachimthalの等式

$C$ を以下の式で表される楕円とする。

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.

楕円の外にある点 $P(x_{0},y_{0})$ について、 $P$ を通る直線 $L$ が楕円と $A$ , $B$ で交わっている。 $A$ の座標を $(\xi ,\eta )$ とする。 $L$ 上の点 $Q(x,y)$ を、 $A$ が $PQ$ を $1$ : $\lambda$ に内分する、楕円の内部に位置する点とすると、以下が成り立つ。

PA={\sqrt {(x_{0}-\xi )^{2}+(y_{0}-\eta )^{2}}}=1,\;\;\;AQ={\sqrt {(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}}}=\lambda

.

これらの方程式を𝜉と𝜂について解く代わりに、以下の式が解であることを代入によって調べることができる。

(\xi ,\eta )={\bigg (}{\frac {\lambda x+x_{0}}{\lambda +1}},{\frac {\lambda y+y_{0}}{\lambda +1}}{\bigg )}.

$A$ が $C$ 上にあることは以下の式から確かめられる。

{\frac {1}{a^{2}}}{\bigg (}{\frac {\lambda x+x_{0}}{\lambda +1}}{\bigg )}^{2}+{\frac {1}{b^{2}}}{\bigg (}{\frac {\lambda y+y_{0}}{\lambda +1}}{\bigg )}^{2}=1,

\lambda ^{2}{\bigg (}{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-1{\bigg )}+2\lambda {\bigg (}{\frac {xx_{0}}{a^{2}}}+{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}-1{\bigg )}+{\bigg (}{\frac {x_{0}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}-1{\bigg )}=0.

この等式は $\lambda$ のJoachimthal's equationと呼ばれる。Joachimthal's equationの2つの根 $\lambda _{1},\lambda _{2}$ は $P$ , $Q$ に対する $A$ , $B$ の位置を決定する。

QA={\frac {1}{\lambda _{1}+1}}(x-x_{0},y-y_{0}),\;\;PA={\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{1}+1}}(x_{0}-x,y_{0}-y)

QB={\frac {1}{\lambda _{2}+1}}(x-x_{0},y-y_{0}),\;\;PB={\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{2}+1}}(x_{0}-x,y_{0}-y).

{\frac {PB}{PA}}{\frac {QA}{QB}}={\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}.

上の等式の両辺が $-1$ と等しいならば

{\frac {QA}{PA}}=-{\frac {QB}{PB}}.

このとき $PQ$ に対する $A$ の内分比と $B$ の外分比は等しい。すなわちこれは調和比である。

{\frac {xx_{0}}{a^{2}}}+{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}-1=0.

この等式は $P(x_{0},y_{0})$ を極とする極線を表す。

出典

^ Eugène Rouché,Charles de Comberousse 著、小倉金之助編『初等幾何学第1巻平面之部』山海堂書店、1913年。doi:10.11501/930885。
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Juan Carlos Alverez (2000) Projective Geometry, see Chapter 2: The Real Projective Plane, section 3: Harmonic quadruples and von Staudt's theorem.
Robert Lachlan (1893) An Elementary Treatise on Modern Pure Geometry, link from Cornell University Historical Math Monographs.
Bertrand Russell (1903) Principles of Mathematics, page 384.
Russell, John Wellesley (1905). Pure Geometry. Clarendon Press

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[1] Eugène Rouché,Charles de Comberousse 著、小倉金之助編『初等幾何学第1巻平面之部』山海堂書店、1913年。doi:10.11501/930885。

[2] 英国幾何学教授法改良協会著、原浜吉訳『平面幾何学 : 初等教育下巻』両輪堂、1893年、252頁。

[3] デボーヴ著、吉田好九郎訳『平面幾何学研究法訂再版,Questions de géométrie elémentaire』富山房、1914年、38-71頁。doi:10.11501/952193。

[4] 保田棟太, 白井伝三郎『平面幾何教科書』光風館、1907年、238頁。doi:10.11501/828886。

[5] “調和共役”. mixedmoss. 2024年7月23日閲覧。

[6] 真辺仙一『手によりて分類せる幾何学問題集』敬文館書店、1924年、20,263-264頁。doi:10.11501/921465。

[7] R. L. Goodstein & E. J. F. Primrose (1953) Axiomatic Projective Geometry, University College Leicester (publisher). This text follows synthetic geometry. Harmonic construction on page 11　

[:0-8] ショヴネー著、乙部兵義訳『ショヴネー氏幾何教科書下巻』開新堂、1891年、142-143,152頁。doi:10.11501/828565。

[9] 長沢亀之助『平面幾何学小辞典』東京宝文館、1913年、5,11-12頁。

[10] 三余学寮『数学新辞典 (辞典叢書)』田中宋栄堂、1907年、180頁。doi:10.11501/826427。

[11] 菊池大麓『初等幾何学教科書立体之部（訂３版）』大日本図書、1898年、126頁。doi:10.11501/828701。

[12] “GLOSSARY, a support page for ENCYCLOPEDIA TRIANGLE CENTERS”. faculty.evansville.edu. 2024年3月23日閲覧。

[13] 森本清吾『初等幾何学』朝倉書店、1953年、70-73頁。doi:10.11501/1372292。

[14] ジョン・ケージー著、山下安太郎,高橋三蔵訳『幾何学続編』有朋堂、1909年、111頁。doi:10.11501/828521。

[15] 秋山武太郎『平面幾何學教科書改訂再版』明治書院、1919年、310-312頁。doi:10.11501/1184187。

[16] 山崎栄作『最新平面幾何学講義』内田老鶴圃、1925年、203-213頁。doi:10.11501/942889。

[17] 越智治成『幾何学徹底的研究』文明社、1937年、152-153頁。doi:10.11501/1457461。

[18] 松室隆光『登竜幾何学問題選集』広文館、1936年、103-105頁。doi:10.11501/1112996。

[19] 澤山勇三郞,森本清吾『初等幾何学』積善館、1931年、142-147頁。doi:10.11501/1174278。

[20] “調和点列の様々な定義と具体例”. 高校数学の美しい物語 (2021年3月7日). 2024年7月23日閲覧。

[21] 世界大百科事典, 日本大百科全書(ニッポニカ),改訂新版. “調和列点(ちょうわれってん)とは？意味や使い方”. コトバンク. 2024年7月23日閲覧。

[22] 中川銓吉『平面解析幾何学』富山房、1913年、128頁。doi:10.11501/980959。

[23] チャーレス・スミス著、宮本藤吉訳『解析幾何学教科書』三省堂、1906年、57頁。doi:10.11501/828396。

[24] サーモン著、小倉金之助訳『解析幾何学 : 円錐曲線』山海堂出版部、1914年、112頁。doi:10.11501/952208。

[25] Dirk Struik (1953) Lectures on Analytic and Projective Geometry, page 7

[26] 窪田忠彦『幾何学的変換論初歩』金港堂書籍、1925年、2頁。doi:10.11501/980958。

[27] H. S. M. Coxeter (1942) Non-Euclidean Geometry, page 29, University of Toronto Press　

[28] B.L. Laptev & B.A. Rozenfel'd (1996) Mathematics of the 19th Century: Geometry, page 41, Birkhäuser Verlag ISBN 3-7643-5048-2　

[29] John Wesley Young (1930) Projective Geometry, page 85, Mathematical Association of America, Chicago: Open Court Publishing　

[30] A.S. Smogorzhevsky (1982) Lobachevskian Geometry, Mir Publishers, Moscow

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