岩澤理論

数論における岩澤理論（いわさわりろん、Iwasawa theory）は、岩澤健吉が円分体の理論の一部として創始した、（無限次元拡大の）ガロア群の、イデアル類群における表現論である。

Z_p-拡大

岩澤が端緒としたのは、代数的数論において Z_p 拡大と呼ばれる、そのガロア群が p-進整数環の加法群 Z_p と同型となるような体の塔（拡大列）の存在性である。このガロア群は理論中しばしば Γ と書かれ、（アーベル群ではあるが）乗法的に記される。このような群は、（そのガロア群が本質的に射有限群であるような）無限次元代数拡大のガロア群の部分群として得られる。この群 Γ それ自身は、ある素数 p を固定したときの、加法群 Z/pⁿZ (n = 1, 2, ...) たちが自然な射影によって成す逆系の逆極限（Z の射有限完備化）である。これはまた、ポントリャーギン双対を考えれば、任意の p の冪に対する 1 の冪根全体が成す円周群の離散部分群の双対として得られるコンパクト群が Γ であるとも述べられる。

円分拡大の数論

最初の重要な例は、1 の原始 p 乗根 ζ を添加する拡大 K = Q(ζ) である。K_n を 1 の原始 pⁿ⁺¹乗根の生成する K の（したがってとくに C 内の）部分体として、体の塔 K_n (n = 1, 2, ...) の和集合（合成体）を L と置く。このとき、体の拡大 L/K のガロア群は Γ に同型である。これは、拡大 K_n/K のガロア群が Z/pⁿZ であることによる。

ここから、ガロア群 Γ 上の興味深い加群を取り出すことができる。岩澤は K_n のイデアル類群と、そのシロー p 部分群 I_n （p-部分）を考えた。このときノルム写像

I_m → I_n

（ここで m > n）を考えれば逆系が得られ、その逆極限を I として Γ を I に作用させることができる。その作用を記述することに意味があるのである。

また、以下のような量的な記述ができる： p を素数とし、K_n を塔とする K の Z_p 拡大 L に対し、K_n のイデアル類群の p-部分 I_n（これは有限 p-群だから位数は p の冪である）の位数の p の冪指数を e_n とするとき、適当な正の数 μ, λ と実数 ν および十分大きな n をとれば

$e_{n}=\mu p^{n}+\lambda n+\nu$

という形に表すことができる。

ここでの動機というのは、K のイデアル類群の p 部分こそがフェルマーの最終定理の直接証明における主要な障害となっている、ということがクンマーによって既に特定されていたということによるものである。岩澤の独自性は、「無限大に飛ばす」という新しい着想にあった。

事実として、I は群環 Z_p[Γ] 上の加群であり、またこの群環は二次の正則局所環と呼ばれる（その上の加群のそれほど粗くない分類が非常に容易であるという意味で）素性の良い環である。

岩澤主予想

草創期の1950年代から理論の構築は絶えず続けられ、この加群の理論と久保田やレオポルド (Leopoldt) が1960年代に考案した p-進 L 関数の理論の間の基本的考察が提示された。p 進 L 関数は、ベルヌーイ数から始めて補間法を用いて定義される、ディリクレの L 関数の p-進の類似物である。最終的に、クンマーによる正則素数に関する結果から世紀を隔てて、フェルマーの最終定理の前進する見通しが立ったことが明らかとなった。

岩澤主予想（Main conjecture of Iwasawa theory）は、（加群の理論と補間法の）二種類の方法で定義される p-進 L 関数は（それが定義可能な限りは）一致するはずであるという形で定式化された。この予想は結果としては、バリー・メイザー (Barry Mazur) とアンドリュー・ワイルズによって有理数体 Q の場合に、またやはりワイルズによって任意の総実数体の場合に証明された。

参考文献

• Coates, J.; Sujatha, R. (2006). Cyclotomic Fields and Zeta Values. Springer-Verlag 
• Lang, S. (1978). Cyclotomic Fields. Springer-Verlag 
• Washington, L. (1997). Introduction to Cyclotomic Fields (2nd ed.). Springer-Verlag 
• Mazur, Barry; Wiles, Andrew (1984). “Class Fields of Abelian Extensions of Q”. Inventiones Mathematicae 76 (2): 179-330. 
• Wiles, Andrew (1990). “The Iwasawa Conjecture for Totally Real Fields”. Annals of Mathematics 131 (3): 493-540.