群環

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
移動: 案内検索

代数学において、与えられたおよびに対する群環(ぐんかん、: group ring)は、与えられた群と環の構造を自然に用いて構成される。群環はそれ自身が、与えられた環を係数環とし与えられた群を生成系とする自由加群であって、なおかつ与えられた群の演算を生成元の間の演算として「線型に」延長したものを積とする環を成す。俗に言えば、群環は与えられた群の与えられた環の元を「重み」とする形式和の全体である。与えられた環が可換であるとき、群環は与えられた環上の多元環(代数)の構造を持ち、群多元環(ぐんたげんかん、: group algebra; 群代数)(あるいは短く群環[注 1])と呼ばれる。

群環は、特に有限群の表現論において重要な役割を果たす代数的構造である。無限群の群環はしばしば位相を加味した議論を必要とするため位相群の群環の項へ譲り、本項は主に有限群の群環を扱う。また、より一般の議論は群ホップ代数英語版を見よ。

定義[編集]

二つの定義[編集]

可換環 R を係数として有限個の形式和

r1g1 + r2g2 + … + rkgk (riR, giG (1 ≤ ik))

を作り、積は G の積を線型に拡張した


\left( \sum_{f \in G} s_f f \right) \left( \sum_{g \in G} r_g g \right) = \sum_{f, g \in G} s_f r_g fg = \sum_{h = fg} s_f r_g h

と定義すると、その全体 R[G]RG とも書かれる)は R 上の多元環(ブルバキでいうところの線型環)になる。これを GR 係数の群環または群多元環とよぶ。明らかに G は群環 R[G] の生成系であり、これを標準基底と呼ぶ。群 G での積と群環 R[G] での積を混同するのを避けるため、標準基底としての G の元は δg (gG) などと記号を改めて書くこともある。

一方、群 G から可換環 R への写像 f: GR で、有限個の例外を除き f(g) = 0 (gG) となるようなものの全体を R(G) とする。 R(G) に和と積を各点 g ごとに

(f + h)(g) = f(g) + h(g)
(f\ast h)(g) = \sum_{\gamma\in G}f(g\gamma^{-1})h(\gamma)

で定めると、R(G)R 上の多元環となる。ここでの積は畳み込み(の一種)である。積が畳み込みであることを強調して、畳み込み多元環 (convolution algebra) という場合がある。この多元環も GR を係数とする群環と呼ぶ。

二つの定義の関係[編集]

R[G] の元 x = r1g1 + r2g2 + … + rkgk に対して、写像 fx : GR

g = gi のとき fx(g) = ri (1 ≤ ik) とし、それ以外のとき fx(g) = 0

とおいて定義すると fxR(G) である。 このとき、対応 x \mapsto f_xR[G] から R(G) への同型写像となる。

[編集]

位数 3 の巡回群 G = 〈 g | g3 = 1 〉 を取り、ω = exp(2πi/3) とおく。 このとき

\begin{align}
e_1 &= \tfrac{1}{3}(1 + g + g^2) \\
e_2 &= \tfrac{1}{3}(1 + \omega g + \omega^2 g^2) \\
e_3 &= \tfrac{1}{3}(1 + \omega^2 g + \omega g)
\end{align}

と群環 CG の元を定めると、これらは中心的直交原始冪等元分解 1 = e1 + e2 + e3 を与え、次の直既約分解と同型が得られる。


\mathbb{C}G = e_1 \mathbb{C}G \oplus e_2 \mathbb{C}G \oplus e_3 \mathbb{C}G \cong
\begin{pmatrix} \mathbb{C} & 0 & 0 \\ 0 & \mathbb{C} & 0 \\ 0 & 0 & \mathbb{C} \end{pmatrix}

群環上の加群[編集]

可換環 K 上の群環 K[G] を環と見るとき、K[G] 上の加群は、G 上の加群と呼ばれる。G の表現G-加群の言葉で読みかえることができる。特に

  • 単純 G-加群は G-既約表現のことである。
  • G の表現空間が K-加群 V1, V2 であるとき、表現の間の準同型は、G-加群 V1, V2 の間の K-線型準同型のことであり、その全体は HomG
    K
    (V1, V2)
    などで表される。
定理 (Maschke)
有限群 G の位数が F標数と互いに素なとき、あるいは標数 0 のとき、群環 FG半単純である。

性質[編集]

群環の中心[編集]

K[G] の積の定義の仕方から、その環としての中心G 上で定義されたK-値類函数(つまり、G の各共軛類上で定数となる函数)の全体に一致する。これは配置集合 KG部分線型空間で、各共軛類 cC指示函数の族 (1c)c∊C を標準基底に持つ(これらの指示函数は KG の標準基底によって1c = ∑s∊cδs と分解できる)。

また、KG 上の非退化な対称双線型形式内積)を

(f\mid h) = \frac{1}{g}\sum_{s\in G}f(s)h(s^{-1})

で定義することができる。

  • 既約指標の全体はこの類函数の空間の正規直交基底を成す

これにより、(この部分空間の次元を考えて)

  • 既約表現の(同型類の)総数は、群の共軛類の数 h に等しい

ゆえに、群 GK 上の既約表現 (S1, ρ1), … (Sh, ρh) が(同型を除いて)存在して、それらの指標 χ1, …, χh が群環 K[G] の中心の基底を成す。

アルティン–ウェダーバーンの定理[編集]

前節の記号を引き続き用いて以下の基本的な定理が直接的に示せる。

  • 群環 K[G] は群 Gh-個の既約表現 SiK-自己準同型環 EndK(Si) の直和に同型である:
    K[G] \simeq \bigoplus_{i=1}^h \operatorname{End}_K(S_i).
    さらに K代数閉体と仮定すれば、有限次元半単純環に関するアルティン・ウェダーバーンの定理から同じ結果が得られる。
  • 群環 K[G]KG の部分空間であるから、各Si の次元を di とすれば、群環自身の次元は
    g=\sum_{i=1}^hd_i^2
    で与えられる(K が正標数の場合はfr:Représentation régulière#Identités remarquablesを見よ)。
  • K[G] の元 f が中心に属するための必要十分条件は、その成分が Si 上の相似拡大 (homothety) となることである。さらに類函数に関する結果を用いれば、その Si における相似比 λi
    \lambda_i=\frac1{d_i}\sum_{s\in G}f(s)\chi_i(s)
    で与えられる。

正則表現[編集]

G の正則表現 λ は、既に述べた対応により自然に群環 K[G] 上の左 K[G]-加群の構造に対応する。前節で述べた群環の分解に従えば:

  • G の正則表現は G の既約表現 ρi をその次数 di と同じ数だけ重複したものの直和
    (K^G,\lambda) \simeq \bigoplus_{i=1}^h d_i(S_i,\rho_i)
    に分解される。即ち、この λ に付随する半単純加群の等型成分英語版
    d_i(S_i,\rho_i)=\underbrace{(S_i,\rho_i)\oplus\dotsb\oplus(S_i,\rho_i)}_{d_i\text{ summand }}\quad (d_i=\dim(S_i))
    で与えられる。

指標の直交関係[編集]

表現の指標と群環は、直交性を考えるとき、互いに相補的な関係にある。G の表現 (V1, ρ1), (V2, ρ2) に対して、χ1, χ2 をそれぞれ表現 ρ1, ρ2 の指標とするとき、表現 (V1, ρ1), (V2, ρ2)G-加群と見て

(\chi_1\mid \chi_2)=\dim_K(\hom_K^G(V_1,V_2))

が成り立つ。右辺の次元は K 上で考える。

すると、シューアの補題により、既約指標 π1, π2 の間の直交関係

(\pi_1\mid\pi_2)=\begin{cases} 1 & \pi_1\simeq \pi_2\\ 0 & \pi_1 \not\simeq \pi_2\end{cases}

が得られる。

応用[編集]

フロベニウス相互律[編集]

群環の構造を用いるよい例としてフロベニウス相互律を挙げられる。これは G-加群の誘導表現英語版を構成する方法とも理解される。有限群 G の部分群 HK[H]-加群 W に対して、W から誘導される G-加群とは

V\simeq K[G]\otimes _{{K[H]}}W

のことを言う(K[H]K[H]-加群としてのテンソル積である)。この誘導表現は、H-加群 W の(環 K[H] から K[G] への)係数拡大英語版に対応する。HG正規部分群のときは、この誘導表現は H による半直積に同値である。

フロベニウス相互律は、誘導表現の指標に関する内積を計算するための便法を与える。ψH の表現 θ としての H-加群 W の指標とし、χG の表現 ρ の指標とする。ψG への誘導表現の指標を Ind ψρH への制限の指標を Res χ とすれば、フロベニウス相互律とは

\langle \operatorname{Ind}_H^G \psi \mid \chi\rangle_G = \langle\psi \mid \operatorname{Res}_H^G \chi\rangle_H

なる関係が成り立つことを主張するものである。これはそれぞれの付随する K-多元環準同型の空間の同型 HomG(Ind θ, ρ) ≅ HomH(θ, Res ρ) を構成することで(次元を見れば)示される。

代数的整数[編集]

  • uK[G] の標準基底に関する座標成分が全て 上で整ならば、uである。

実際に標準基底としての G の元 δs 上整であり、これらの生成する有限生成 -加群は実際には -多元環を成す。

前節からの記号を引き続き使用して、以下が成り立つ:

  • uK[G] の中心に属する元で、その座標成分が 上整ならば以下の K の元
    \lambda_i=\frac1{d_i}\sum_{s \in G} u_s \chi_i(s)
    もまた 上整である。

実際、上記の節によれば、この数は Si 上での相似比 ρi(u) である。先に掲げた命題によりこの相似比は 上の整元であり、相似拡大の結合は多元環の準同型となるから、もとの数もそうである。

K が標数 0 ならば以下の性質が導かれる(実際には任意の標数で正しい):

  • 既約表現の次数 di は群の位数 g を割り切る。

可換群上の調和解析[編集]

有限群 G がアーベル群ならば、その双対群もまた有限で G に(自然でない)同型である。故に(複素係数)群環上の調和解析の道具は有効で、フーリエ変換畳み込みを定義し、パーシヴァルの等式プランシュレルの定理ポントリャーギン双対性などの定理を適用することができる。

多くの古典的な定理を有限可換群上の調和解析の言葉で解釈しなおすことができる。それらの中には、平方剰余の相互法則を示すのに使うルジャンドル記号ガウス和円分多項式の求根に用いるガウス周期など算術的な道具も含まれる。

注釈[編集]

  1. ^ これは少々紛らわしいが、任意の群環は係数環の中心上の群多元環となるから、その文脈で何を係数環としているかが明らかならば混乱の虞は無いであろう。

参考文献[編集]

関連項目[編集]