正弦定理

正弦定理（せいげんていり、law of sines）とは三角形の内角の正弦（サイン）とその対辺の長さの関係を示したものである。正弦法則ともいう。多くの場合、平面三角法における定理をさすが、球面三角法などでも類似の定理が知られており、同じように正弦定理と呼ばれている。

正弦定理

三角形 ABC において、辺 BC, CA, AB の長さをそれぞれ a, b, c 、外接円の半径を R とし、∠A=A, ∠B=B, ∠C=Cとすると、

${a \over {\sin A}}={b \over {\sin B}}={c \over {\sin C}}=2R$

という関係が成り立つというものである。一辺の長さとその両端の角が分かれば他の二辺の長さが分かるため、三角測量の基礎となっている定理である。

正弦定理の証明

以下証明において角度には弧度法を用いている。なお π = 180°である。

三角形 ABC とその外接円（半径を R とおく）において、BC=a, ∠A=Aとすると、

0 < ∠ A < π/2 のとき

線分 BD が外接円の直径となるような点 D を外接円上にとる。円周角の定理より、

$\angle {\rm {A=\angle D}}$

また BD は外接円の直径であることから、

${\rm {BD}}=2R,\ \angle {\rm {BCD}}={\pi \over 2}$

よって、正弦の定義より、∠D=Dとすると、

$\sin D={a \over 2R}$

である。 ∠A=Aとし、

$\qquad \sin D=\sin A$

を用いて変形すると、

${a \over \sin A}=2R$

となる。同様にして他の角についても成り立つ。

∠ A = π/2 のとき

BC = a = 2R であり、

$\sin A=\sin {\pi \over 2}=1$

であるから、

${a \over \sin A}=2R$

は成り立つ。

π/2 < ∠ A < π のとき

線分 BD が外接円の直径となるような点 D を外接円上にとる。 円に内接する四角形の性質から、

$\angle {\rm {D=\pi -\angle A}}$

つまり、∠D=Dとすると、

$\qquad \sin A=\sin D$

となる。 BD は外接円の直径だから、BD = 2R。 正弦の定義より、

${\sin A}={\sin D}={a \over 2R}$

変形すると

${a \over \sin A}=2R$

となる。同様にして他の角についても成り立つ。

以上より正弦定理は成り立つ。

また、逆に正弦定理を認めると「円周角の定理」と四角形が円に内接するとき四角形の対角の和は 180 度であるという「内接四角形の定理」が成立することがわかる。

球面三角法における正弦定理

球面上の三角形 ABC において、弧 BC, CA, AB の長さを球の半径で割ったものをそれぞれ a, b, c とし、∠A=A, ∠B=B, ∠C=Cとすると、

${{\sin a} \over {\sin A}}={{\sin b} \over {\sin B}}={{\sin c} \over {\sin C}}$

が成り立つ。これを球面三角法における正弦定理とよぶ。

関連項目

• 三角関数
• 余弦定理