デデキントゼータ関数

デデキントゼータ関数（-かんすう、英: Dedekind's zeta function）とは、

代数体 K に対して

$\zeta _{K}(s)=\sum _{\mathfrak {a}}{\frac {1}{(N{\mathfrak {a}})^{s}}}$

で表される関数のことをいう。但し、和は K の整イデアル^[1]全てを動き、 $\scriptstyle N{\mathfrak {a}}$ は整イデアル ${\mathfrak {a}}$ のノルムである。従って、デデキントゼータ関数は、ヘッケのL関数の特別な場合である。特に、K が有理数体のとき、リーマンゼータ関数になる。

与えられた整数 n に対して、ノルムが n である整イデアルは有限個しかなく、ノルムは正整数であるので、デデキントゼータ関数は、

$\zeta _{K}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {F_{n}}{n^{s}}}\ \ \ \ (F_{n}\in \mathbb {Z} )$

と、ディリクレ級数の形で表すことが出来る。

デデキントゼータ関数は、 $\scriptstyle \operatorname {Re} \ s>1$ に対して、絶対かつ一様収束する。従って、 $\scriptstyle \operatorname {Re} \ s>1$ で、 $\zeta _{K}(s)$ は正則関数である。

関数等式

n 次代数体 K に対して、デデキントゼータ関数は次の関数等式を満たす：

$\zeta _{K}(1-s)=|D_{K}|^{s-1/2}\left(\cos {\frac {\pi s}{2}}\right)^{r_{1}+r_{2}}\left(\sin {\frac {\pi s}{2}}\right)^{r_{2}}(2(2\pi )^{-s}\Gamma (s))^{n}\zeta _{K}(s)$ 。

但し、 $r_{1},\ 2r_{2}$ は K の実共役体、虚共役体の個数とする。

特に、K を有理数体にすれば、よく知られたリーマンゼータ関数の関数等式

$\zeta (1-s)=2(2\pi )^{-s}\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (s)\ \zeta (s)$

が成立する。

さらに、 $\zeta _{K}(s)$ に対する、代数体 K の完全ゼータ関数を

$Z_{K}(s)=|D_{K}|^{s/2}2^{-(s-1)r_{2}}\pi ^{-ns/2}\Gamma (s/2)^{r_{1}}\Gamma (s)^{r_{2}}\zeta _{K}(s)$

とおけば^[2]、関数等式

$Z_{K}(1-s)=Z_{K}(s)$

を満たし、 $\scriptstyle \mathbb {C} \setminus \{1\}$ に解析接続できる。従って、 $\zeta _{K}(s)$ は $\scriptstyle \mathbb {C} \setminus \{1\}$ まで解析接続できる。

解析接続できない $s=1$ では、デデキントゼータ関数は 1 位の極で、留数は

$\kappa ={\frac {2^{r_{1}}(2\pi )^{r_{2}}}{w|D_{K}|^{1/2}}}h_{K}R$

である。つまり、

$\zeta _{K}(s)={\frac {\kappa }{s-1}}+O(1)\ \ \ (s\to 1+0)$

である。^[3]

ただし、 $r_{1},\ 2r_{2}$ は K の実共役体、虚共役体の個数、w は、K に含まれる 1 のベキ根の個数、 $h_{K},\ R$ は、それぞれ K の類数、単数基準とする。

デデキントゼータ関数の零点

(1) 自明な零点

\zeta _{K}(s)

と

\zeta _{K}(1-s)

との関係式から自明な零点を求めることができる。

K が総実体のとき
任意の正整数 k に対して、 $\zeta _{K}(-2k)=0$ 。
K が総実体ではないとき
任意の正整数 k に対して、 $\zeta _{K}(-k)=0$ 。

(2) 非自明な零点

s が、 $\scriptstyle \operatorname {Re} \ s>0$ である零点とすれば、 $\scriptstyle Rs\ s=1/2$ であると予想されている。これを拡張されたリーマン予想という。リーマンゼータ関数に対するリーマン予想をその特別な場合として含む予想であり、現在でも未解決である。

オイラー積

任意の整イデアルは、素イデアルの積で表すことができるので、デデキントゼータ関数は、以下のオイラー積表示を持つ。

$\scriptstyle \operatorname {Re} \ s>1$ のとき、

$\zeta _{K}(s)=\prod _{\mathfrak {p}}{\frac {1}{1-(N{\mathfrak {p}})^{-s}}}$ 。

ただし、積は K の素イデアル全てを動くものとする。

ディリクレのL関数との関係

デデキントゼータ関数のオイラー積表示により、素イデアルのノルムの値からデデキントゼータ関数を具体的に計算することができる。素イデアルのノルムは、有理素数^[4]の素イデアル分解の結果から求めることができるが、K が一般の代数体の場合、素イデアル分解が複雑であるので、具体的に計算することは大変難しい。しかし、K が二次体または円分体であれば、素イデアル分解の様子がよく分かっているので、オイラー積を計算することができ、その結果、デデキントゼータ関数をディリクレのL関数を用いて表現することができることが知られている。

(1) K が二次体の場合

K の判別式を D とし、 $\chi _{D}$ を法 D に関するクロネッカー指標とすると、

$\zeta _{K}(s)=\zeta (s)L(\chi _{D},\ s)$

が成立する。

(2) K が円分体の場合

$\scriptstyle K=\mathbb {Q} (\zeta _{m})$ $(m>2)$ とする。

$\zeta _{K}(s)=\prod _{\chi }L(\chi ,s)=\zeta (s)\!\!\prod _{\chi \neq \chi _{0}}\!\!L(\chi ,s)$

が成立する。ここで、最初の積は、法 m に関する原始的ディリクレ指標全てにわたる積とし、二番目の積は、法 m に関する原始的ディリクレ指標のうち、単位指標以外のもの全てにわたる積である。

さらに、任意の有理数体のアーベル拡大体 K は、ある円分体の部分体であるので(クロネッカー＝ウェーバーの定理)、上のことから、 $\zeta _{K}(s)$ は、いくつかのディリクレL関数の積で表すことができる。

応用例

デデキントゼータ関数を用いた応用例として、2つの平方数の和で表す方法の数を求めてみることにする。

これはヤコビの二平方定理として知られ、いろいろな証明方法が知られているが(ヤコビの二平方定理の証明を参照)、ここでは、デデキントゼータ関数を使った方法で証明してみる。

$\scriptstyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-1}})$ とおき、K 上のデデキントゼータ関数 $\zeta _{K}(s)$ を二通りの方法で計算する。

まずは、ディリクレ級数の形でデデキントゼータ関数を表し、その係数を求めてみる。

$\zeta _{K}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {F_{n}}{n^{s}}}\ \ \ \ (F_{n}\in \mathbb {Z} )$

とおくと、

F_{n}={\frac {1}{4}}\#\{(a,b)|a^{2}+b^{2}=n,\ a,\ b\in \mathbb {Z} \}

^[5]

が成立するので、 $F_{n}$ は、n を2つの平方数の和で表す方法の数の4倍に等しい。慣例に従って、2つの平方数の和で表す方法の数を $r_{2}(n)$ と書くと、

$\zeta _{K}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(1/4)r_{2}(n)}{n^{s}}}$

と表される。

さて、K は二次体であるので、 $\zeta _{K}(s)$ は、リーマンゼータ関数と、クロネッカー指標からなるディリクレL関数の積で表される。 $\scriptstyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-1}})$ のクロネッカー指標を具体的に求めることにより、

$\zeta _{K}(s)=\zeta (s)\!\!\!\!\!\!\!\prod _{p;\operatorname {odd} \ \operatorname {prime} }\!\!\!\!\!\!\!\left(1-(-1)^{(p-1)/2}p^{-s}\right)$

が成立する。二通りに表された $\zeta _{K}(s)$ を比較することにより、

$r_{2}(n)=4\sum _{2\nmid d|n}(-1)^{(d-1)/2}$

が成立する。これはヤコビの二平方定理に他ならない。

さらなる応用として、K を別の二次体 $\scriptstyle (\mathbb {Q} ({\sqrt {-2}}),\ \mathbb {Q} ({\sqrt {-3}})$ にすることで、上と同じ方法で、 $\scriptstyle x^{2}+2y^{2},\ x^{2}+3y^{2}$ の形での表し方の数を求めることができる。