ヤコビの二平方定理

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ヤコビの二平方定理(Jacobi's two square theorem)は、自然数を高々二個の平方数の和で表す方法の数を与える定理[1]。名称はドイツの数学者ヤコビに由来する。

自然数Nを高々二個の平方数の和で表す方法の数は

で与えられる。但し、シグマ記号は2で整除されないNの約数(1とNを含む)について和を取ることを表す。言い替えれば、自然数Nを高々二個の平方数の和で表す方法の数は、Nの約数のうち、4を法にして1と合同になるものの個数から3と合同になるものの個数を引いたものの4倍に等しい。

具体例[編集]

例えば、

であるが、実際に25を高々二個の平方数の和で表す方法は

であり、符号と順序を区別すれば12個になる。

証明[編集]

テータ関数の比は楕円関数(二重周期を持つ有理型関数)になり、楕円関数の導関数も楕円関数になるから、

は共に楕円関数である。且つ、

であるから、となるところにおいて悉くとなり、リウヴィルの定理によっては定数である。として

により、を得る。従って、

である。右辺のテータ関数を無限乗積に展開し、を代入し、と書くと

となり、ヤコビの三重積の公式により

となる。一方、

であるから

であり、テータ関数の対数微分の公式により

である。以上により、

が得られ、の係数を比較することにより、

が得られる。

関連記事[編集]

出典[編集]

  1. ^ Hardy & Write, 1938, An Introduction to the Theory of Numbers