リミットサイクル

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ファン・デル・ポール振動子で現れる安定なリミットサイクル。内側の軌道も外側の軌道も、ある閉軌道に漸近している。

リミットサイクル(英語:limit cycle)とは、力学系における相空間上での閉軌道であり、時間 t無限大、またはマイナス無限大にしたとき、その閉軌道に収束する軌道が少なくとも一つ存在するものである。極限閉軌道極限周期軌道とも呼ばれる。1881年、力学系の始祖でもあるアンリ・ポアンカレによって初めて見いだされた[1]

リミットサイクルは非線形系でのみ現れる。リミットサイクルの十分近くの軌道がすべてリミットサイクルに収束するとき、安定である、またはアトラクティブであるという。

安定なリミットサイクルは、自励振動を表している。つまり、閉軌道に小さな摂動が加わっても元に戻る。また、相空間上の様々な初期値から出発した軌道はリミットサイクル軌道に収束し、やはり自励振動を示す。 リミットサイクルを持つ例として、ファン・デル・ポール振動子がある。代数的微分方程式におけるリミットサイクル軌道の数を求める問題は、ヒルベルトの第16問題の第二の問題として知られる。2次元相空間の場合は、ポアンカレ・ベンディクソンの定理(またはベンディクソンの定理)によってリミットサイクル軌道の存在(または非存在)を予見できる。

定義[編集]

系の時間を tR、状態変数を X = (x1, x2,... xn) ∈ Rn とする。n 次元連続力学系のある解 X(t)平衡点ではなく、なおかつ X(t) = X(t + T) を満たすような T > 0 が存在するとき、X(t)閉軌道(あるいは周期軌道、周期解)と呼ばれる[2]。特に X(t) = X(t + T) を満たす最小の T周期と呼ぶ。閉軌道となる解 X(t)C で表すとする。系の相空間 x1, x2,... xn 上で、閉軌道 C単純閉曲線を描く[3]

リミットサイクルは次のように定義される。ある閉軌道 C が存在するとする。C近傍で任意の初期点(初期値)X0 を取り、X0 を通る解 ϕ (t, X0)t → ∞ または t → −∞ϕ (t, X0)C に漸近するとき、C はリミットサイクルと呼ばれる[4]。あるいは、

または

となる CX0 ∉ C が存在するとき、C はリミットサイクルと呼ばれる。ここで、d(ϕ(t, X0), C) は時刻 t における点 ϕ (t, X0)集合 C距離である[5]

「リミット」は極限集合を意味し[6]、リミットサイクルは極限閉軌道[7]極限周期軌道[8]とも呼ばれる。極限集合には t → ∞ 方向の ω 極限集合と t → −∞ 方向の α 極限集合の2つがある。極限集合を用いてリミットサイクルを定義すれば、閉軌道 C が存在し、X0 ∉ Cω 極限集合 ω(X0) または α 極限集合 α(X0)C となるとき、ω(X0) または α(X0) はリミットサイクルと呼ばれる[9]

2次元連続力学系では、相平面上でリミットサイクルは必ず孤立した閉軌道となる。すなわち、リミットサイクルとなる閉軌道 C の近傍には他の閉軌道は存在し得ない。C 近傍の全ての軌道は、C に吸引されるように近づくか、C から反発するように遠ざかるかの2通りしかない[10]。周りの軌道を吸引するリミットサイクルは漸近安定あるいは単に安定であるという。漸近安定なリミットサイクルはアトラクタの一種である。周りの軌道を反発するリミットサイクルは軌道不安定あるいは単に不安定であるという[11]。相平面のリミットサイクルで、内側の軌道が吸引されて外側の軌道が反発するような場合、あるいは内側の軌道が反発して外側の軌道が吸引されるような場合、これらの場合のリミットサイクルは半安定であるという[12][10]

具体例[編集]

2次元系[編集]

微分方程式系 , 方向場。原点を除く全ての軌道は回転しながら単位円の閉軌道に漸近する。

リミットサイクルが現れる簡単な微分方程式系の例として、

という2次元系がある[13][14]。ここで、xy の上部の · は時間微分 d/dt を意味する。この系を極座標で表せば、

となり、動径 r と偏角 θ の振る舞いが互いに無関係に決まる単純な形となる[15]θ(t) の一般解は一定振動数で回転し続ける関数となる。r(t) の一般解は

という関数となる。ここで、r0t = 0 における r の値である。よって、r0 ≠ 0 であれば、r(t)t → ∞r → 1 であり、系の原点を除く全ての軌道は回転しながら単位円に近づいていくこととなる[14]。この結果は、明示的な一般解を必要としない簡易な安定判別によっても得られる。よって、原点を中心とする単位円がこの系の安定なリミットサイクルである[16]

上記の微分方程式系にパラメータ(定数a を与えた

では、a > 0 であれば、半径 a の円が上記と同様に安定なリミットサイクルである[17]。しかし a < 0 のときは、全ての軌道は原点に収束する[18]a = 0 のときも、代数的なオーダーの速さだが全ての軌道は原点に収束する[19]a > 0 になったときに、原点は不安定となり、原点周囲に安定なリミットサイクルが発生する。よって、この系では a = 0ホップ分岐が起きている[19][18]

関連項目[編集]

脚注[編集]

  1. ^ P. Yu & W. Lin (2016) Complex dynamics in biological systems arising from multiple limit cycle bifurcation, Journal of Biological Dynamics, 10:1, 263-285, doi:10.1080/17513758.2016.1166270
  2. ^ Strogatz 2015, p. 161.
  3. ^ K.T.アリグッド・T.D.サウアー・J.A.ヨーク、シュプリンガー・ジャパン(編)、津田一郎(監訳)、星野高志・阿部巨仁・黒田拓・松本和宏(訳)、2012、『カオス 第2巻 力学系入門』、丸善出版 ISBN 978-4-621-06279-1 p. 149.
  4. ^ Strogatz 2015, p. 214 訳注より.
  5. ^ Hirsch et al. 2007, pp. 229–232.
  6. ^ 郡・森田 2011, p. 17.
  7. ^ ラルフ・エイブラハム、ヨシスケ・ウエダ(編)、稲垣耕作・赤松則男(訳)、2002、『カオスはこうして発見された』初版、 共立出版 ISBN 4-320-03418-X p. 31.
  8. ^ 船越 2008, p. 84.
  9. ^ 郡・森田 2011, p. 53.
  10. ^ a b Strogatz 2015, p. 214.
  11. ^ 郡・森田 2011, pp. 17, 121.
  12. ^ 下郷太郎・田島清灝、2002、『振動学』初版、 コロナ社〈機械系 大学講義シリーズ11〉 ISBN 4-339-04045-2 p. 148.
  13. ^ Strogatz 2015, p. 261.
  14. ^ a b M. ブラウン、シュプリンガー・ジャパン(編)、一樂重雄・河原正治・河原雅子・一樂祥子(訳)、2012、『微分方程式 下―その数学と応用』、丸善出版 ISBN 978-4-621-06234-0 pp. 211–212.
  15. ^ Strogatz 2015, p. 216.
  16. ^ Strogatz 2015, pp. 216–217.
  17. ^ 桑村 2015, pp. 51–52.
  18. ^ a b Hirsch et al. 2007, p. 187.
  19. ^ a b 桑村 2015, pp. 105–106.

参照文献[編集]

  • Steven H. Strogatz、田中 久陽・中尾 裕也・千葉 逸人(訳)、2015、『ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス―数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで』、丸善出版 ISBN 978-4-621-08580-6
  • 郡 宏・森田 善久、2011、『生物リズムと力学系』初版、 共立出版〈シリーズ・現象を解明する数学〉 ISBN 978-4-320-11000-7
  • 桑村 雅隆、2015、『パターン形成と分岐理論―自発的パターン発生の力学系入門』初版、 共立出版〈シリーズ・現象を解明する数学〉 ISBN 978-4-320-11004-5
  • 船越 満明、2008、『カオス』初版、 朝倉書店〈シリーズ 非線形科学入門3〉 ISBN 978-4-254-11613-7
  • Morris W. Hirsch; Stephen Smale; Robert L. Devaney、桐木 紳・三波 篤朗・谷川 清隆・辻井 正人(訳)、2007、『力学系入門 原著第2版―微分方程式からカオスまで』初版、 共立出版 ISBN 978-4-320-01847-1

外部リンク[編集]