線形力学系

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線形力学系(せんけいりきがくけい、: linear dynamical system)とは、行列で定義され、線形性を持つ力学系である。

定義[編集]

一般に Rn における線形力学系は、ベクトル値関数 x(t) ∈ Rn と、n 次の正方行列 A により、次のような微分方程式で表される。

ただしこれは、x連続的に変化する場合であり、離散系の場合には、

で表される。

これが線形であるとは、x(t)y(t) が解ならば、任意のスカラー a, b について、線形結合 ax(t) + by(t) も解である、ということを意味している。

線形力学系は、多くの非線形の場合と異なり、完全に解くことができる。このとき、解は行列の指数 etA(連続系)、もしくは累乗 An(離散系)によって表現され、その振る舞いは一般的に行列 A の固有値、固有ベクトルによって理解できる。 非線形のときでも、変数変換により線型化して解くことができることもある。また、不動点の周りでの線形近似は、非線形系を理解するのに役立つ(ハートマン=グロブマンの定理)。

線形力学系の解[編集]

初期値 x(0) = x0 が、行列 A固有ベクトル vk ならば、

となる。ただし、λk は、固有ベクトル vk に対応する固有値である。このとき、解は、

となる。

もし A対角化可能ならば、任意の初期値 x(0) は、固有ベクトルの線形結合で表される。つまり、次のような 係数 ak が存在する。

このとき解は、

となる。

対角化不可能な場合でも一般に行列指数関数を用いて

と、解を導くことができる。

二次元の場合[編集]

二次元の線形力学系は、

で表される。この系では、A2正方行列である。A の固有値は、行列式 Δ と、トレース τ を用いて、

のように書くことができる。

また、 であり、 である。

もし、 ならば、固有値の符号が異なり原点は、鞍点 (saddle point) となる。

ならば、原点は孤立した平衡点ではない。

ならば、固有値の符号が同じになり、 ならば(漸近)安定、 ならば中立安定 ならば不安定になる。また固有値が実数ならば節点 (node) となる。ただし、二つの固有値が同じときには対角化可能なときスター、不可能なとき退化節点 (degenerate node) となる。最後に複素数のときは、渦状点 (spiral) となる。

参考文献[編集]

関連項目[編集]