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解析学におけるポッホハマー記号(ポッホハマーきごう、英: Pochhammer symbol)はレオ・オーギュスト・ポッホハマー(英語版)の名に因む特殊函数[* 1]で、組合せ論および超幾何級数論にも応用を持つ。
記法について[編集]
同じ函数を表す記号だが、表記にはいくつかバリエーションがある。
: 組合せ論で使用
: 解析学、特殊函数論で使用
: (その他の記法)
複素数 x と正整数 n に対して、特殊函数論では (x)n を昇冪[* 2]
![{\displaystyle (x)_{n}=\prod _{j=0}^{n-1}(x+j)=x(x+1)(x+2)\dotsb (x+n-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2efd4694358eb29406767819cc793a9198bd3339)
を表すのに用いるが、組合せ論では (x)n を降冪[* 3]
![{\displaystyle (x)_{n}=\prod _{j=0}^{n-1}(x-j)=x(x-1)(x-2)\dotsb (x-n+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e21e5dfafecc8e2b5b97e181c9d891b6d73a51f3)
として用いる。混乱を避けるため、昇冪を (x)n, 降冪を (x)n でそれぞれ表すこともよく行われる[* 4]。さらに グラハム, クヌース & パタシュニク (2020, pp. 48–49, 64) は全く別の冪乗に似た記号を用いる。
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{\overline {n}}&=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1),\\x^{\underline {n}}&=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/990181145aadd20689d204bfeda22beb88dab763)
差分学における降冪は微分学における冪の類似対応物である。
ガンマ関数Γを用いると
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{\overline {n}}&={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}},\\x^{\underline {n}}&={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5d02060f78b143a1e20fb888f68be761b10ede3)
となる(ただしガンマ関数の引数が非正整数でない場合)。さらに x が正整数のときは階乗を用いて
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{\overline {n}}&={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}},\\x^{\underline {n}}&={\frac {x!}{(x-n)!}}\quad (x\geq n)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c46060b9a119794e16d224cf9fd3a58165fb0b1a)
各 n に対するポッホハマー記号 (x, n) のグラフ
- ポッホハマー記号 (x, n) は複素変数 x に関して有理型函数である。
- 任意の自然数 n ∈ N に対して (x, n) は x の多項式であり、x = 0 を共通根に持つ。
- 変数 x の符号を反転するとき
![{\displaystyle (-z,n)=(-1)^{n}(z-n+1,\,n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8f6d973215a953cac8d326731be96211dcfc100)
- 径数 n の符号を反転するとき、以下の関係式が成り立つ:
![{\displaystyle (x,-n)=(-1)^{n}{\frac {1}{(1-x,n)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f5ee919e1e422ae35d34d98170d2a7a50350b9f)
![{\displaystyle (z,\,n+m)=(z,n)(z+n,\,m)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea023689df4fe70a76821ab415d5d33f9f5020d4)
- 商の法則:
![{\displaystyle {\frac {(x,n)}{(x,m)}}={\begin{cases}(x+m,\,n-m)&(n>m),\\[5pt]{\dfrac {1}{(x+m,\,m-n)}}&(m>n).\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/550666f72c688a8b5b6f5a24a57ba15c644ccae0)
- 特殊値:
![{\displaystyle (1,n)=n!\quad (n\in \mathbb {N} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4f212b1c8b7d86e20ccdcb3fd3d009575194225)
![{\displaystyle (1/2,n)=2^{-n}(2n-1)!!\quad (n\in \mathbb {N} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07161daa4dd7140953caec545c363041143cc5b7)
- 二項係数との間に以下の関係がある:
![{\displaystyle {z \choose n}={\frac {(-z)_{n}}{n!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/889e86c2fcf1ba8ff9c4432b093c0fd20c8b869c)
ポッホハマー記号は函数の冪級数展開を表すのに用いられる。いくつか例を挙げれば、
- ニュートンの二項級数:
![{\displaystyle (1-z)^{a}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-a)_{k}}{k!}}\,z^{k}\qquad (|z|<1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecf53dd17cbf3edb70fb8201be0192e7705a8a37)
- 超幾何函数:
![{\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\begin{matrix}a,b\\[-3pt]c\end{matrix}}\;;\;z\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(a)_{k}(b)_{k}}{(c)_{k}}}\,z^{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f3cc22f45b5c0e4c00e310054711e26ec45c042)
一般化[編集]
q-類似[編集]
ポッホハマー記号の q-類似に q-ポッホハマー記号がある。これは
![{\displaystyle (a;q)_{0}:=1,\quad (a;q)_{n}:=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80702e55a4333a5ddc80fc9f59f3256ff69a7341)
で定義される。
多重ポッホハマー記号[編集]
多重指数に対するポッホハマー記号を以下のように定めることができる:
![{\displaystyle (a)_{\kappa }^{(\alpha )}:=\prod _{i=1}^{m}\prod _{j=1}^{\kappa _{i}}\left(a-{\frac {i-1}{\alpha }}+j-1\right)\quad (\kappa =\kappa _{1}+\kappa _{2}+\dotsb +\kappa _{m},\,\alpha >0).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d73253b9762a6c4135e8ec464a6872d1c72d1e9)
参考文献[編集]
- Pochhammer, L. (1888). “Ueber die Differentialgleichung der allgemeineren hypergeometrischen Reihe mit zwei endlichen singulären Punkten”. Journal für die reine und angewandte Mathematik 102. http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002160536.
- Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1988), Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, Addison-Wesley
- Seaborn, James B. (1991). Hypergeometric Functions and their applications. New York: Springer Verlag. ISBN 0-387-97558-6
- Knuth, Donald E. (1992), “Two notes on notation”, American Mathematical Monthly 99 (5): 403–422, arXiv:math/9205211, doi:10.2307/2325085, JSTOR 2325085, https://jstor.org/stable/2325085
外部リンク[編集]