サイクロイド

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サイクロイド（英語: cycloid）とは、円がある規則にしたがって回転するときの円上の定点が描く軌跡として得られる平面曲線の総称である。一般にサイクロイドといえば定直線上を回転するものを指すことが多い。擺線（はいせん）とも呼ばれる。

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  サイクロイドの図示
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  サイクロイド (r_m = 1, −π ≤ θ ≤ 3π)
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  サイクロイド（青）、その接触円（赤）および縮閉線（緑）。

定義および性質

定直線に沿って円が滑らずに回転するときの円周上の定点の軌跡をサイクロイドという（→生成アニメーション）。サイクロイドはトロコイドの一種と見なすことができる。半アーチ分の伸開線は、自身と合同なサイクロイドとなる。逆に言うと、サイクロイドの縮閉線は、自身と合同なサイクロイドとなる。

円が y が非負の側で x 軸上を転がるとき、動円の半径を r_m、回転角を θ とすると、原点を通るサイクロイドの媒介変数表示は

$${\begin{cases}x=r_{\mathrm {m} }(\theta -\sin \theta ),\\y=r_{\mathrm {m} }(1-\cos \theta ).\end{cases}}$$

となる。このとき、

• ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} y/\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} x/\mathrm {d} \theta }}={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}$
• ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {1}{r_{\mathrm {m} }(1-\cos \theta )^{2}}}$
• 媒介変数 θ の地点における曲率半径は

$$4r_{\mathrm {m} }\left|\sin {\frac {\theta }{2}}\right|.$$

サイクロイドの半アーチ分の伸開線。半アーチ分の弧長は、動円半径の4倍となる。

• "円が1回転したときの定点の軌跡" の長さを l とすると、

$${\begin{aligned}l&=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \theta }}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \theta }}\right)^{2}}}{\mathrm {d} \theta }\\&=\int _{0}^{2\pi }r_{\mathrm {m} }{\sqrt {2-2\cos \theta }}\,{\mathrm {d} \theta }\\&=2r_{\mathrm {m} }\int _{0}^{2\pi }\sin {\frac {\theta }{2}}\,{\mathrm {d} \theta }\\&=8r_{\mathrm {m} }.\end{aligned}}$$（= "当該円の半径" の 8倍）

サイクロイドの面積をマミコンの定理により求める図。サイクロイドを囲む長方形（面積 2r_m × 2πr_m = 4πr_m²）からサイクロイド自身を取り除いた領域の面積は、動円の面積 πr_m² に等しい。

• "円が1回転したときの定点の軌跡" と "x-軸" で囲まれた部分の面積を S とすると、

$${\begin{aligned}S&=\int _{0}^{2\pi r_{\mathrm {m} }}y\,{\mathrm {d} x}=\int _{0}^{2\pi }r_{\mathrm {m} }^{2}(1-\cos \theta )^{2}{\mathrm {d} \theta }\\&=4r_{\mathrm {m} }^{2}\int _{0}^{2\pi }\sin ^{4}{\frac {\theta }{2}}\,{\mathrm {d} \theta }\\&=3\pi r_{\mathrm {m} }^{2}.\end{aligned}}$$（= "当該円の面積" の 3倍）

• x軸まわりの回転体の体積を V_x とすると、

$${\begin{aligned}V_{x}&=\pi \int _{0}^{2\pi r_{\mathrm {m} }}y^{2}\,{\mathrm {d} x}=\pi \int _{0}^{2\pi }r_{\mathrm {m} }^{3}(1-\cos \theta )^{3}{\mathrm {d} \theta }\\&=8\pi r_{\mathrm {m} }^{3}\int _{0}^{2\pi }\sin ^{6}{\frac {\theta }{2}}\,{\mathrm {d} \theta }\\&=5\pi ^{2}r_{\mathrm {m} }^{3}.\end{aligned}}$$

• x軸まわりの回転体の表面積を S_x とすると、

$${\begin{aligned}S_{x}&=2\pi \int _{0}^{2\pi }r_{\mathrm {m} }(1-\cos \theta ){\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \theta }}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \theta }}\right)^{2}}}{\mathrm {d} \theta }\\&=8\pi r_{\mathrm {m} }^{2}\int _{0}^{2\pi }\sin ^{3}{\frac {\theta }{2}}\,{\mathrm {d} \theta }\\&={\frac {64}{3}}\pi r_{\mathrm {m} }^{2}.\end{aligned}}$$

• サイクロイドの微分方程式は

$$\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}={\frac {2r_{\mathrm {m} }}{y}}-1,\quad {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}=-{\frac {r_{\mathrm {m} }}{y^{2}}}.$$

応用分野

振幅の異なる5つのサイクロイド振り子。おもりの軌跡はサイクロイドとなる。

• サイクロイド歯車
• サイクロイド振り子 - 任意振幅に対して等時性を担保する振り子

参考文献

• Apostol, Tom M.、Mnatsakanian, Mamikon A. 著、川辺治之 訳『Aha! ひらめきの幾何学―アルキメデスも驚くマミコンの定理―』共立出版、2016年8月。ISBN 978-4-320-11138-7。 

関連項目

• エピサイクロイド
• ハイポサイクロイド
• 曲線
• 最速降下曲線
• スピログラフ
• シャープ - AQUOSケータイシリーズに採用した、画面が横になる仕組みをサイクロイドスタイルと命名。サイクロイドスタイルと共にサイクロイドも同社の登録商標または商標となっている
• サイクロイド (ストリートファイター) - ゲーム『ストリートファイターEX』シリーズに登場する架空の人造人間

外部リンク

• 『サイクロイド』 - コトバンク
• Weisstein, Eric W. "Cycloid". mathworld.wolfram.com (英語).
• Cycloids at en:cut-the-knot
• A Treatise on The Cycloid and all forms of Cycloidal Curves, monograph by Richard A. Proctor, B.A. posted by Cornell University Library.
• “Cicloides y Trocoides”. 2009年12月12日時点のオリジナルよりアーカイブ。2017年7月8日閲覧。
• Cycloid Curves by Sean Madsen with contributions by David von Seggern, Wolfram Demonstrations Project.