アルティン・リースの補題

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数学において、アルティン・リースの補題: Artin–Rees lemma)は、ヒルベルトの基底定理のような結果とともに、ネーター環上の加群についての基本的な結果である。1950年代に数学者エミール・アルティンDavid Rees英語版によって独立に証明された。特別な場合は オスカー・ザリスキ に先に知られていた。

この補題から得られる結果にクルルの交叉定理がある。また、完備化の完全性を証明するためにも使われる(Atiyah & MacDonald 1969, pp. 107–109)。

補題の主張[編集]

Iネーター環 Rイデアルとする。M を有限生成 R-加群とし N をその部分加群とする。このときある整数 k ≥ 1 が存在して、n ≥ k に対して、次が成り立つ。

証明[編集]

必要な概念や表記が準備されてしまえば、補題は R が「ネーター的」であるという事実から直ちに従う[1]

任意の環 R および R のイデアル I に対して、 とおく(blow-up のbl)。部分加群の減少列 I-フィルター(I-filtration)であるとは、 が成り立つときにいう。さらに、それが安定(stable)であるとは、十分大きい n に対して であるときにいう。MI-フィルターが与えられているとき、 とおく。これは 上の次数加群である。

さて、MR-加群とし、有限生成 R-加群による I-フィルター が与えられているとする。次のことを確認する。

上有限生成加群であることと、フィルターが I-安定であることは同値である。

実際、フィルターが I-安定であれば、 ははじめの 個の によって生成され、これらは有限生成であるので、 も有限生成である。逆に、 が有限生成であれば、 として、 に対して、各 fMn

と書ける。ただし の生成元。つまり、 である。

これで R がネーター的であると仮定すれば補題を証明できる。 とする。すると I-安定なフィルターである。したがって、上記より、 上有限生成である。しかし R がネーター環なのでネーター環である。(環 リース代数英語版と呼ばれる。)したがって、 はネーター加群であり任意の部分加群は 上有限生成である。とくに、N に induced filtration が与えられているとき、すなわち であるとき、 は有限生成である。すると induced filtration も上記の確認により I-安定である。

クルルの交叉定理の証明[編集]

環の完備化における使用に加えて、補題の典型的な応用はクルルの交叉定理 (Krull's intersection theorem)

ネーター局所環の真のイデアル I に対して、

の証明である。共通部分 N に補題を適用すれば、ある k が存在して に対して

が成り立つ。ところがこのとき なので中山の補題によって である。

参考文献[編集]

  1. ^ Eisenbud, Lemma 5.1.

外部リンク[編集]