重根 (多項式)

重根（じゅうこん、英: multiple root）とは、1変数多項式 $f(x)$ の根のうち重複度が2以上のもののことをいう。

概要

1 変数多項式 $f(x)$ が、定数 $a(\neq 0)$ , $\alpha _{1}$ , $\alpha _{2}$ , …, $\alpha _{n}$ を用いて

f(x)=a(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{n})

の形に因数分解され、 $\alpha _{1}$ , $\alpha _{2}$ , …, $\alpha _{n}$ の中に 2 つ以上同じ値がある場合、その値を $f(x)$ の重根という。

方程式 $f(x)=0$ の解は一般に

{\begin{cases}y=f(x)\\y=0\end{cases}}

つまり xy-座標系において $y=f(x)$ と x 軸との交点の x 座標である。 $f(x)$ が1変数多項式のとき、 $y=f(x)$ が $x=\alpha$ で x 軸に接するなら、 $\alpha$ は $f(x)$ の重根となる。

したがって $f(x)$ は $x=\alpha$ における微分も 0 となり、 $x=\alpha$ が $f(x)$ の重根であることと

f(\alpha )=f'(\alpha )=0

であることは同値である。

体 K 上の多項式 $f(x)$ と K の元 $\alpha$ に対し、 $(x-\alpha )^{2}\mid f(x)$ が成立するとき、すなわち 2 以上の自然数 $k$ と多項式 $g(x)$ で

f(x)=(x-\alpha )^{k}g(x)

を満たすものが存在するとき、 $\alpha$ を $f(x)$ の重根という。特に $g(x)$ が $\alpha$ を根に持たないならば、 $k$ を根 $\alpha$ の重複度（ちょうふくど、multiplicity）という。

→詳細は「判別式」を参照

多項式 $f(x)$ の根を $\alpha _{1}$ , $\alpha _{2}$ , …, $\alpha _{n}$ とし、その全体から作られる最簡交代式（差積）の平方

D_{f}:=\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}

を多項式 $f(x)$ あるいは方程式 $f(x)=0$ の判別式（はんべつしき、discriminant）という。

これは「代数方程式が重根を持つかどうか」を判別するための式である。すなわち、判別式が $0$ であることとその代数方程式が重根を持つこととが同値となる。このことは判別式を差積に取り替えても変わらない。にもかかわらず差積の平方を判別式とするのは、それが方程式の係数によって必ず記述できるからである。

これは、

によって保証される。

たとえば、二次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ （ $a\neq 0$ ）の根を $\alpha$ , $\beta$ とすると、根と係数の関係により

\alpha +\beta =-{\frac {b}{a}},

\alpha \beta ={\frac {c}{a}}

が成り立ち、判別式すなわち差積の二乗は

(\alpha -\beta )^{2}=(\alpha +\beta )^{2}-4\alpha \beta =\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}-4\times {\frac {c}{a}}={\frac {b^{2}-4ac}{a^{2}}}

となる。 $a\neq 0$ より $a^{2}>0$ であるので、実用上は分母を掃った $b^{2}-4ac$ を判別式として用いることが多い。