超過剰数

超過剰数（ちょうかじょうすう、英:superabundant number）は自然数で、m<n である全ての自然数mに対して

${\frac {\sigma (m)}{m}}<{\frac {\sigma (n)}{n}}$

を満たす自然数nである。ただしσは約数関数である。例えば12は σ(12)/12 = (1+2+3+4+6+12)/12 = 7/3 であり、11以下のmで σ(m)/m > 7/3 を満たす数はないので12は超過剰数である。超過剰数は無数にあり、そのうち最小の数である1から小さい順に列記すると

超過剰数のうち1,2,4は不足数、6は完全数であり、12以上の超過剰数は全て過剰数である。超過剰数は高度合成数と関係が深く、特に最初の19個までの超過剰数と高度合成数は同じ数である。

性質

$n=\prod _{i=2}^{p}i^{a_{i}}$
$a_{2}\geq a_{3}\geq \dots \geq a_{p}$

を満たすことを証明した。nが4と36のときを除けば a_p=1 である。つまり超過剰数のうち平方数は4と36のみである。