弾性率

弾性率（だんせいりつ、英語: elastic modulus）は、変形のしにくさを表す物性値であり、弾性変形における応力とひずみの間の比例定数の総称である。弾性係数あるいは弾性定数とも呼ばれる^[1]。

1807年にトマス・ヤングによって導入された^[2]。

概要

弾性率は弾性変形における応力とひずみの間の比例定数(応力/ひずみ)として定義される。ひずみは無次元であるので、弾性率は応力と同じ次元を持ち、SIにおける単位はパスカル（記号: Pa）、ニュートン毎平方メートル（記号: N/m²）が用いられる。また、弾性率の逆数を弾性コンプライアンス定数や単に弾性コンプライアンスという。単位は1/Pa、m²/N。

弾性率の種類としては以下のようなものがある。

E ：引張力、圧縮力などの単軸応力に対する変形の場合のヤング率（縦弾性係数）
G ：せん断力に対する変形の場合の剛性率（ずり弾性率・横弾性係数・せん断弾性係数・ラメの第二定数）
K ：静水圧（直角3方向の力）に対する変形の場合の体積弾性率
λ：ラメの第一定数（ラメの弾性係数）

この他に、無次元数のポアソン比も存在する。

テンソル量としての弾性率

2階のテンソル量である応力 $σ$ とひずみ $ε$ に対して、弾性率 $D$ は4階のテンソル量で表すことができる^[3]。

{\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {D}}{\boldsymbol {\epsilon }},

\sigma _{ij}=D_{ijkl}\epsilon _{kl}\quad (i,j,k,l=1\sim 3)

^[4]

弾性率はテンソルであるため、物質客観性の原理により座標変換において $σ= D ε$ の関係を保たねばならない。座標系 $O- x 1 x 2 x 3$ から $O- x' 1$ $x' 2$ $x' 3$ へ変換するとき、弾性率テンソルの成分は

D'_{ijmn}=D_{pqrs}l_{ip}l_{jq}l_{mr}l_{ns}

と変換される^[5]。ここで $l ip$ は、 $x i$ 軸と $x' p$ 軸の方向余弦である。

弾性率テンソルは81(= 3⁴)個の成分を持つが、応力テンソル $σ$ とひずみテンソル $ε$ は対称性、すなわち

\sigma _{ij}=\sigma _{ji},\quad \epsilon _{ij}=\epsilon _{ji}

によりそれぞれ独立な6成分を持つので、弾性率テンソル $D$ も

D_{ijkl}=D_{jilk}

の性質を持ち、独立な成分は36(= 6²)個となる。さらに単位体積あたりの弾性ひずみエネルギー

dW\equiv \sigma _{ij}\,d\epsilon _{ij}

を用いて弾性率が

D_{ijkl}={\frac {\partial ^{2}W}{\partial \epsilon _{ij}\partial \epsilon _{kl}}}

と表せることから

D_{ijkl}=D_{klij}

が成り立つため、最終的に弾性率テンソル $D$ の独立な成分は21(= 6×(6+1)/2)個となる^[5]。

等方均質材料の弾性率の相関関係

材料が等方均質弾性材料とすると、弾性率テンソルD の独立な成分は2個まで絞られ^[3]、次式のように書ける^[6]。

D_{ijkl}=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+G(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta {jk})

ここでδはクロネッカーのデルタである。

この場合、ヤング率E 、ポアソン比ν、体積弾性率K 、剛性率G 、ラメの第一定数λの5つの弾性率はそれぞれ、2つを用いて残りの3つを表すことができる。その関係を下に示す。ここで、 $α = (E 2 + 9λ 2 + 2 E λ) 1/2$ とする。

等方均質弾性体における各弾性率間の変換式
	$E$ （ヤング率）	$\nu$ （ポアソン比）	$K$ （体積弾性率）	$G$ （剛性率）	$\lambda$ （ラメの第一定数）
$E,\nu$	$E$	$\nu$	${\dfrac {E}{3(1-2\nu )}}$	${\dfrac {E}{2(1+\nu )}}$	${\dfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$
$E,K$	$E$	${\dfrac {3K-E}{6K}}$	$K$	${\dfrac {3KE}{9K-E}}$	${\dfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}$
$E,G$	$E$	${\dfrac {E-2G}{2G}}$	${\dfrac {GE}{3(3G-E)}}$	$G$	${\dfrac {G(E-2G)}{3G-E}}$
$E,\lambda$	$E$	${\dfrac {2\lambda }{E+\lambda +\alpha }}$	${\dfrac {E+3\lambda +\alpha }{6}}$	${\dfrac {E-3\lambda +\alpha }{4}}$	$\lambda$
$\nu ,K$	$3K(1-2\nu )$	$\nu$	$K$	${\dfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}$	${\dfrac {3K\nu }{1+\nu }}$
$\nu ,G$	$2G(1+\nu )$	$\nu$	${\dfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}$	$G$	${\dfrac {2G\nu }{1-2\nu }}$
$\nu ,\lambda$	${\dfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}$	$\nu$	${\dfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}$	${\dfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}$	$\lambda$
$K,G$	${\dfrac {9KG}{3K+G}}$	${\dfrac {3K-2G}{6K+2G}}$	$K$	$G$	$K-{\frac {2}{3}}G$
$K,\lambda$	${\dfrac {9(K-\lambda )}{3K-\lambda }}$	${\dfrac {\lambda }{3K-\lambda }}$	$K$	${\frac {3}{2}}(K-\lambda )$	$\lambda$
$G,\lambda$	${\dfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}$	${\dfrac {\lambda }{2\lambda +2G}}$	${\dfrac {3\lambda +2G}{3}}$	$G$	$\lambda$