弾性率

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弾性率(だんせいりつ、英語: elastic modulus)は、変形のしにくさを表す物性値であり、弾性変形における応力ひずみの間の比例定数の総称である。弾性係数あるいは弾性定数とも呼ばれる[1]

1807年にトマス・ヤングによって導入された[2]

概要[編集]

弾性率は弾性変形における応力ひずみの間の比例定数(応力/ひずみ)として定義される。ひずみは無次元であるので、弾性率は応力と同じ次元を持ち、単位はSI単位系ではPa、N/m2が用いられる。また、弾性率の逆数を弾性コンプライアンス定数や単に弾性コンプライアンスという。単位は1/Pa、m2/N。

2階のテンソル量である応力\boldsymbol{\sigma}とひずみ\boldsymbol{\epsilon}に対して、弾性率\boldsymbol{D}は4階のテンソル量で表すことができる[3]

\boldsymbol{\sigma}= \boldsymbol{D} \boldsymbol{\epsilon}
\sigma_{ij}= D_{ijkl} \epsilon_{kl}\quad(i,j,k,l =1\sim3)

応力テンソルとひずみテンソルの対称性により、\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{\epsilon}はそれぞれ独立な6成分を持つので、弾性率テンソル\boldsymbol{D}の独立な成分は36(= 6 x 6)個となる。材料が等方均質弾性材料とすると独立な成分は2個まで絞られる[3]

弾性率の種類としては以下のようなものがある。

この他に、無次元数のポアソン比も存在する。

弾性率の相関関係[編集]

等方均質弾性体では、ヤング率E、ポアソン比\nu、体積弾性率K、剛性率G、ラメの第一定数\lambdaの五つの弾性率はそれぞれ、二つを用いて残りの三つを表すことができる。その関係を下に示す。

ここで、\alpha=\sqrt{E^{2}+9\lambda^{2}+2E\lambda}とする。
等方均質弾性体における各弾性率間の変換式
Eヤング率 \nuポアソン比 K体積弾性率 G剛性率 \lambdaラメの第一定数
E, \nu E \nu \dfrac{E}{3(1-2\nu)} \dfrac{E}{2(1+\nu)} \dfrac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}
E, K E \dfrac{3K-E}{6K} K \dfrac{3K E}{9K-E} \dfrac{3K(3K-E)}{9K-E}
E, G E \dfrac{E-2G}{2G} \dfrac{G E}{3(3G-E)} G \dfrac{G(E-2G)}{3G-E}
E, \lambda E \dfrac{2\lambda}{E+\lambda+\alpha} \dfrac{E+3\lambda+\alpha}{6} \dfrac{E-3\lambda+\alpha}{4} \lambda
\nu, K 3K(1-2\nu) \nu K \dfrac{3K(1-2\nu)}{2(1+\nu)} \dfrac{3K\nu}{1+\nu}
\nu, G 2G(1+\nu) \nu \dfrac{2G(1+\nu)}{3(1-2\nu)} G \dfrac{2G\nu}{1-2\nu}
\nu, \lambda \dfrac{\lambda(1+\nu)(1-2\nu)}{\nu} \nu \dfrac{\lambda(1+\nu)}{3\nu} \dfrac{\lambda(1-2\nu)}{2\nu} \lambda
K, G \dfrac{9KG}{3K+G} \dfrac{3K-2G}{6K+2G} K G K-\frac{2}{3}G
K, \lambda \dfrac{9(K-\lambda)}{3K-\lambda} \dfrac{\lambda}{3K-\lambda} K \frac{3}{2}(K-\lambda) \lambda
G, \lambda \dfrac{G(3\lambda+2G)}{\lambda+G} \dfrac{\lambda}{2\lambda+2G} \dfrac{3\lambda+2G}{3} G \lambda

複素弾性率[編集]

粘弾性体に対しては、弾性率は複素数で表される。複素弾性率の実部は貯蔵弾性率、虚部は損失弾性率と呼ばれる。

脚注[編集]

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  1. ^ 『機械工学辞典』 日本機械学会、丸善、2007年、第2版、816頁。ISBN 978-4-88898-083-8
  2. ^ 小林英男; 轟章 『固体の弾塑性力学』 数理工学社、2007年、14頁。ISBN 978-4-901683-51-7 
  3. ^ a b 吉川弘道. “構成方程式の基本知識―考え方と定式化― (PDF)”. 2013年8月4日閲覧。

関連項目[編集]